关于何国新国际贸易趣题的一个超边际解答

袁小棠

2008.3.5

 

昨日，在何国新的网站上看到他提出的一个国际贸易问题，即两国的效用函数均为U=XY，且无论在自给自足时和专业化时，两国产量均相同，可不可能发生国际贸易，如果此时发生国际贸易则应用什么样的理论来解释。（原题目转载请见文后的附录）

因为最近一直在看杨小凯的超边际分析，充满模型，本就心虚数学，再加上周遭朋友老师苦口婆心的良言相劝，大意是以我这样的年龄及智力，挑战超边际无异于蚍蜉撼树，非数十年之功不能成事，于是羞愧难当，元气大伤，灰心丧气，一撅不振，几欲晕厥。

不想看书，在价值中国网上闲逛，看到何国新的题目，正好是杨小凯超边际分析的拿手好戏，不禁手痒，心中好胜的小毛毛草又蠢蠢欲动。因此，今天又略微整理了一下近期看过的相关理论，想在此做份答卷，也算给自己一个月来看书的一个小小交待，以此向自己证明还不算白白浪费光阴。

由题中所给条件可知，这是一个典型的事前（决策前）相同的案例（效用函数相同，产出也相同），用新古典语言就是既不存在技术和禀赋绝对优势也不存在技术和禀赋比较优势。何国新的问题是：在这种情况下，存不存在国际贸易？

这个问题也可以这样问：不贸易（即自给自足），和贸易哪个最大效用（Optimum Utility）最大？自给自足最大效用大，则自给自足；若贸易最大效用大则贸易。

因此这就变成了有约束条件的几个决策最优解之间的比较问题了。

首先, 自给自足时的最优解, 可以通过解如下约束最大化问题得出。

Max. U(A)=XY                                                          （1）

s.t. X=L_x^a   Y=L_Y^a         L_x  + L_Y  ＝ 1

其中，A用来标记自给自足时的效用，X式与Y式分别是X 产品和Y产品的（简化）生产函数（只有一种要素劳动被考虑），L_x，L_Y为生产X和Y产品所需劳动占所有劳动时间的比率，a>1 为专业化经济程度参数。

将约束条件直接代入（1）式，整理可得：

Max U(A)= L_x^a(1-L_x) ^a                                                           （2）

其中L_x为决策变量，其它是条件参数。这样其实就将条件最大化问题变成了简单的无条件极值问题，根据最大化的一阶和二阶条件容易解得：当L_x=1/2时效用达到最大化。此时U（A）*＝2^-2a

第二步：求解有贸易时的最优解。（注意此时有两种情况一种是以一国专业生产小麦，二国专业生产大米；另一种情况是一国专业生产大米，二国生产小麦。但即然生产技术与资源禀赋相同，则仅取一例便可，另一种情况实际上完全相同。）我们考虑一国专业化生产X 产品的情况，并用（X）来标记此时的效用。

Max. U(X)=XkY^d                                                      （3）

s.t. X + X^s= L_x^a        L_x  ＝ 1                                      (生产约束)

   且p_YY^d=p_XX^s                                                                            (预算约束)

我们发现当有贸易时情况会比较复杂，多了一个交易效率参数k≤1；两个局部均衡参数：X产品的实际售价p_X和Y产品的实际售价p_Y；两个变量：X产品的供给，用表示X^s表示和Y产品的需求，用Y^d表示。根据文定理，一国在专业化过程中不会既买且卖同一种产品，也可以表述为不同时供给和需求同一种产品。假使不看其证明过程，这个结论也符合常识。在完全专业化时（L_X, L_Y  ＝ 1），一国只生产小麦，另一国只生产大米。生产小麦的国家按照常规应该出售（供给）小麦，而购买大米；生产大米的国家则只会出售（供给）大米，而购买小麦。当然也有例外，如购买过多而出售，或出售后，发生紧急事件临时急需又要回购等等，这时文定理不成立，但这种突发冲击事件应该不影响常规考察。因此，我们看到生产小麦一国的生产约束条件写为，自己留用的X量加上出售别国的供给量X^s等于L_x^a，而且，预算约束为一国的收入（出售所得）等于一国的支出（购买所得），这个等式表述的思想很象新古典的国际收支平衡。

同样，将所有条件代入3式，可将约束最大化问题转化为无约束最大化问题：

Max  U(X)=(1 - Xs)kp_XXs/p_Y                                           (4)

其中只有Xs为内生变量，其它均为外生参数。

根据效用最大化的一阶和二阶条件容易解得，一国专业生产X时最大化的效用为

U(X)*= kp_X/4p_Y

因为题中给出了交易费用为零的理想条件，因此交易效率k=1

则 U(X)*= kp_X/4p_Y = p_X/4p_Y

第三步，依同样的步骤可以解得一国专业生产Y时最大化的效用为

U(Y)*= kpy/4p_X＝py/4p_X

最后，比较三个决策（角点）最优解：

当　U(X)*> U（A）*时，该国会选择专业化生产产品X，此时：

p_X/4p_Y>2^-2a　整理得：p_X/p_Y>2^2（1-a）

根据一价定理，p_X/p_Y即是汇率E，可见当交易效率为1时，是否专业化生产，取决于实际汇率。若实际汇率（外币/本币）足够高（大于参数值2^2（1-2a）），则该国专业化生产产品X 。

同理若p_Y / p_X >2^2（1-a）则该国专业化生产产品Y。

相反若U（A）*> U(Y)* 并且U（A）*>U(X)*则两国会选择自给自足，即：

p_X/p_Y<2^2（1-a）　p_Y/p_X <2^2（1-a）

整理得　2^{2（a -1）}<p_X/p_Y<2^2（1-a）或者2^{2（a -1）}< p_Y/p_X <2^2（1-a）

又因为　a>1，则当交易费用足够小，交易效率达到1的情况下，2^{2（a -1）}不可能小于

2^2（1-a），因此，自给自足的条件不成立。

　　结论：两国必定是要专业化并贸易的。而这个结论成立的一个重要前提则是本题给定的：交易效率为1

注意：何国新的问题1和问题2本质上是一个问题，因为在两个问题中两国产出均相同，也即两国在生产同一种产品的生产函数均相同。两问题的差异只体现在一国在生产不同产品时所花费的劳动时间不同，在推导过程中对于劳动时间的分配都用L_x  + L_Y  ＝ 1来表示，而这个式子是不一定要求一国在所有产品的生产上要花费同等时间的，可以相同，也可以不同，最后结论都相同。

看来身体素质不错，在短短两日内，本已大伤的元气竟大有自行恢复之趋势。

听人劝吃饱饭啦，从今儿起，杨小凯先告一段落，博士论文要紧。想想早已士可忍孰不可忍的先生，婆婆每日可口的饭菜，还有家里的那个小小男子汉。皱着眉头，瞪着眼一指头一指头地读着全凭超人的记忆，它认识自己，自己不认识它们的那些童书汉字。对于他来说，妈妈那个声情并茂，多姿多彩，会说话的有声读物可比这个有趣多了，但他懂事，知道看书和坐在电脑前的妈妈是不能用来讲故事的。看来是真的，必须得毕业了。

附：关于国际贸易基本理论的问题

作者：何国新 (原创) 2008-3-3 0:59:04 阅读:31

关键字： 国际贸易 

假   设:

1.  世界上有两个国家,每个国家只有一个人,而且只有两种产品:小麦和大米.

2.  这两个人每天的效用函数相同,都为:U=XY,即每天必须消费两种产品.而且每天只在傍晚消费一次.

3.  这两个人每个人单独一天(8小时)内,若只生产两种产品的其中一种产品,则能生产出4单位的大米,或单独一天(8小时)能生产出4单位的小麦,也就是说这两个人每人单独一天内同时生产小麦和大米,那么能生产出小麦和大米的数量都为2单位和1单位(或2单位和2单位).

4.  小麦和大米的生产只需要劳动,不需要其他资源.

5.   不存在交易费用,即交易费用为0.

问,在上面的假设情况下,

(1)若每个人一天同时生产小麦和大米,那么能生产出小麦和大米的数量为2单位和1单位,国际贸易存在吗?

(2)若每个人一天同时生产小麦和大米,那么能生产出小麦和大米的数量为2单位和2单位,国际贸易存在吗?

(3)请问现在已经有的绝对优势理论\比较优势理论和其后发展起来的各种各样的贸易理论中,用哪一种贸易理论解释上面的现象?