论《周髀算经》的推类思想*

刘邦凡

（燕山大学文法学院·河北秦皇岛·066004）

摘 要：考察《周髀算经》以及赵爽注，可觉察：中国古代逻辑的“类”概念、“类以合类”推类思想的反映。这说明中国古代逻辑的推类思想在中国古代数学形成时期就开始产生了影响。

关键词：中国古代逻辑；推类；《周髀算经》；赵爽。

《周髀算经》原名《周髀》，成书于西汉末年（公元前一世纪），唐时修订算经十书才加上“算经”二字。《周髀算经》的主体是阐明盖天说和四分历法的天文学著作，但该书也是目前现存最早的印刷数学文献之一，其数学思想主要集中在《周髀·卷上》“勾股圆方图”、“日高图”等章节中，主要成就有两项：(1)提出勾股定理的特例。《周髀算经》有：“商高曰：数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三、股脩四、经隅五”^[1]。“句广三、股脩四、经隅五”是“勾股原理”特例，可见《周髀算经》的作者是知道勾股定理的，但没有给出证明；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差術（勾股测量法）的先驱。此外，《周髀算经》陈子答荣方问有：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股。勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日”^[2]。这是开方问题；《周髀算经》中也有较复杂分数运算等。

历代许多数学家多为此书作注。三国时赵爽和唐代李淳风的注释最为有名。从中国逻辑推类思想与方法的角度审看，《周髀算经》原文[1]以及诸家所注有以下几点值得注意。

1.《周髀算经》初步形成“推类”思想并有应用

《周髀算经》原文（指现传本不含赵爽、甄鸾和李淳风等人的注释）反映了先秦时代的数学成就，而注释却为汉唐人所作。

《周髀算经》有：

“昔者荣方问于陈子，曰：今者窃闻夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿。天地之广袤，夫子之道皆能知之其信有之乎。

陈子曰：然。

荣方曰：方虽不省愿夫子幸而说之，今若方者可教此道邪。

陈子曰：然。此皆算術之所及，子之于算足以知此矣，若诚累思之。

于是荣方归而思之，数日不能得，复见陈子曰：方思之不能得，敢请问之。

陈子曰：思之未熟，此亦望远起高之術而子不能得；子之于数未能通类，是智有所不及而神有所穷；夫道术言约而用博者知类之明，问一类而以万事达者谓之知道；子所学算数之术是用智矣，而尚有所难，是子之智类单；夫道术所以难通者，既学矣患其不博，既博矣患其不习，既习矣患其不能知，故同术相学、同事相觀，此列士之遇智，贤不肖之所分，是故能类以合类，此贤者业精习智之质也。夫学同业而不能入神者，此不肖无智而业不能精习。是故算不能精习，吾岂以道隐子哉，固复熟思之”^[3]。

从这段文字看，陈子认为荣方“不能得”，是因为“子（指荣方）组织于数，未能通类，是智有所不及，而神有所穷。”

此处“通类”，其意可能有两层：一是掌握普遍的方法、规律，领会其要领，二是没有理解推导、推论、推理的基本规则、基本方法。后一句话说荣方“智有所不及”，“神有所穷”，因此，“通类”更可能是后一层意思。后文又说“夫道術，言约而用博者，智类之明。问一类而以万事达者，谓之知道”，“问一类而以万事达”就是“类推”，“类推”与“通类”就是“知道”，陈子进一步指出，要学好“算数之術”，就要能“通类”，之所以“子（荣方）”“尚所所难”，是因为子之智类单。这事实上就说，“子（荣方）”不得其解就是没有掌握“类推”这一思维方法。

陈子甚至总结到，“能类以合类。此贤者业精习智之质也”。意思不外就是说，能够熟练进行归纳、“推类”才能成为“贤者”。

《周髀算经》原文并不长，上引这段文字就达300多字，足见《周髀算经》作者不但精通“类推”之理，十分注重逻辑推理方法的运用，而且十分推崇“类推”在研习数学中的重要作用，着重在数学教育中进行“类推”方法的传授。

可以肯定的是，“推类”的思想与方法在《周髀算经》中得到了应用，影响《周髀算经》作者及其算数研习。

2.《周髀算经》整体把握了“推类”方法

根据郭怀中先生的意见，“《周髀》既有理论假设，又有实际操作和数学处理，其言数之理，言无之理，形成一个有机的整体。特别是在它言之成理的逻辑形式中，已具有演绎推理的发达形态。”^[4]

郭怀中先生进而摘录《周髀算经》两段原文：

“日夏至南万六千里，日冬至南十三万五千里，日中无影。以此观之，从极南至夏至日中十一万几千里。……凡径二十三万八千里。此夏至日道之径也。……从夏至之日中至冬至之日中十一万九千里。比至极下亦然。则从极南至冬至之日中二十三万八千里。……凡经四十七万六千里，此冬至日道径。……从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里。”

“春分之日夜分以至秋分之日夜分，极下常有日光。秋分之日夜分，以至春分之日夜分，极下常无日光。故春秋分之日夜分之时，日所照适至极、阴阳之分等也。……故春秋分之日中光之所照北至极下，夜半日光之所照亦南至极，此日夜分之时也。故曰，日照四旁各十六万七千里。”

郭怀中先生讨论以上两段文字后得到结论，《周髀算经》从天地平行假说出发，运用逻辑推理和实际操作，试图解释自然现象。对于郭怀中先生的结论，我很是赞成。但我要指出的，从这一例子可旁证，不论是中国古代逻辑，还是西方逻辑，尽管各自的主要推理成分和主导的推论类型有所不同，但有着根本的共通的一面，那就是任何逻辑都是以逻辑推导、逻辑推演为载体和呈现的，不然就不是“逻辑”了。事实上，这种由假说出发，然后逻辑推导、实际验证的方法，在《周髀算经》作者已经把这一方法抽象化和格式化了，而且，这也说明《周髀算经》作者也深谙“推类”的道理，因为总结概括出一个证明方法（一个类）然后推而应用之，实质就是“推类”。

3. 赵爽对《周髀算经》“推类”思想的深刻分析

赵君卿，名爽，字君卿，东汉末年人（公元二世纪到三世纪），就其《周髀算经·注》，存在丰富而深刻推类思想与应用。这可以从以下几个方面得到反映。

我们首先把“《周髀算经》卷上”^[5]有关“推类”之理的原文与赵君卿《周髀算经.注》的文字对照如下表。

序号	《周髀算经》原文	赵君卿注
1	子之于数未能道类	定高远者，立两表望悬邈者，施累矩言，未能通类求勾股之意。
2	是皆有所不及而神有所穷	言不能通类是情智有所不及，而神思有所穷滞。
3	夫道术言约而用博者智类之明	夫道术，圣人之所以极深研而研几，唯深也，故能通天下之志唯几也。故能成天之务是以其言约其旨远，故曰智类之明也。
4	问一类而万及达者，谓之知道	引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣，故谓之知道也。
5	今之所学	欲知天地之数。
6	算数之术是智矣，而尚有所难是子之智单	算术所含尚以为难，是子智类单尽。
7	夫道术，所以难迥者，既学矣而患其不博	不能广博。
8	既博矣患其不习	不能究习。
9	既可矣患其不习不能知	不能知类。
10	故同术相学	术教同者，则当学通类之意。
11	同事相观	事类同者，观其旨趣其类。
12	此列士之遇智	列猶别也言视其术，鉴其学，则遇智者别也。
13	贤不肖之所分	贤者达于事物之理，不肖者闇与照察之情，至于役神驰思聪明殊别矣。
14	类以含类，此贤者业未有习智者之质也	学其伦类，观其指归，唯贤智精习者能之也。
15	夫学同业，而不能入神者，此不肖无智而业不能精习	俱学道术明智，不察不能以类合类而长之，此心游日荡义不入神也。
16	是故算不能精习，吾岂以道隐子哉国复熟思之。	凡教之道不愤不启、不悱不发，愤之，悱之，然后启发。既不精思又不学习，故言吾无隐也。尔固复熟思之，举一隅使反之以三也。

从上表粗看就知，赵君卿对“推类”思想进行了直接的论述，这是中国古代数学家论述数学推类思想的良好开始。

通过比较《周髀算经》原文与赵君卿注文，可以断定，赵君卿不仅十分赞成“周髀”所讲研习数学之理——在于掌握“知类”、“通类”，在于能“推类”，而且深谙“推类”之道，对“推类”思想与方法的逻辑内涵进行了深刻的分析：不仅指出了什么是“推类”以及“推类”的巨大价值与功用，而且明确指出了如何推类——“引而伸之，触类而长之”、“不察不能以类合类而长之”、“举一隅使反之以三也”等。这不仅表明赵君卿对中国逻辑的精髓之理——“推类”有深刻的理解，而且善于应用。

如上所论，赵君卿的把数学之理归于“推类”，而“推类”的基本成分“类”概念，却有两义，一是作“通类”、“知类”或“推类”讲，二是有“类属”之意，如：赵君卿对《周髀算经》原文“凡北极之左右，物有朝生暮获”的注释为：“获疑作穫，谓葶苈荠麦。冬至秋分为画从秋分至春分为夜，物有朝生暮获者，亦有春刍而秋熟，然其所肓皆是周地冬生之类荠麦之属，言左右者不在璿玑二万三千里之内也，此阳微阴彰，故无夏长之类”。

4. 赵爽提出了如何“通类”的基本方法

从上引列表赵君卿“周髀算经注”长文看，赵君卿对如何“通类”提出了两法，一是“引而伸之，触类而长”，二是“举一隅使反之以三也”也就是“举一反三”。不仅如此，赵君卿还提出“通类”另外两个方法，一是归类，如前文“物有朝生暮获”的注释，又如，赵君卿说：“既像其形又法其位，言相方，类不亦似乎”^[6] 。二是“明察”，如上文所引赵君卿注，如赵君卿对“夫子之道皆能知之其信有之乎”^[7]一句的注释是：“而明察之故不昧不疑”^[8]。

参考文献：

[1][2] [3][5][6] [7][8]周髀算经 [A]，中国历代算学集成（靖玉树），济南：山东人民出版社，1994.13-14，20. 18-50.

[4] 郭怀中，《周髀算经》数理教育初步研究[C]，李迪数学史研究文集（第四辑），1993.109-113.