刘徽用“率”与墨家*

刘邦凡

（燕山大学文法学院·河北秦皇岛·066004）

摘 要：“率”是刘徽《九章算术注》中一个核心概念，所用涵义与墨家用“率”之义有相近之处，验证了刘徽注受到了墨家思想的影响。

关键词：刘徽；九章算术注；率；墨家。

在先秦诸子，墨家不仅以逻辑、更以科学著作著称，《墨子》一书集科学技术、社会文化、名辩学之大成。在先秦曾与儒家并称显学。然秦毁百书，禁百学，墨儒均被严重摧毁。及至汉武罢黜百家、独尊儒术，法、道、阴阳诸家逐渐靠拢儒学，独墨学从此中绝，几成绝学。可幸魏晋时起，两汉经学已走到尽头，儒学独尊局面而不复存在，崇尚清谈、好名言理之人，重新开始重视起墨家一学来。生活在这个时代的刘徽正是这样一个人。刘徽的《九章算术注》中明显看出，刘徽对儒、道、墨、易等诸家的重视，尤其是对墨家的重视。我们为进一步说明——刘徽注深受墨家的影响，我们不妨以刘徽注用“率”与墨家用“率”作一个比较。

1.“率”在《墨子》中有四义

一是作“带领、率领”之义，如：

“昔子圣王禹汤文武，兼爱天下之百姓，率以尊天事鬼，其利人多，故天福之，使立为天子，天下诸侯皆宾事之。暴王桀纣幽厉，兼恶天下之百姓，以主后天？侮鬼，其贼人多，故天祸之，至今不息。” （《墨子.法仪四》）

又如，“里长既同其里之义，率其里之万民，以尚同乎乡长” 、“国君治其国，而国既已治矣，有章其国之万民，以尚乎天子” （《墨子.尚同中》）。

再如，“然则天亦何欲何恶？天欲义而恶不义。然而率天下之百姓以从事于义，则我乃为天之所欲也”（《墨子.天志上》）。

二是通“律”、“警”，有鞭策、警策之义，如《尚同下》有说：“是故子墨子曰：‘凡使民尚同者，爱民不疾，民不可使，曰必疾爱而使之，致信而持之，富贵以道其前，明罚以率其后。为政若此，唯欲毋与我同，将不可得也。”

三是作“比率”或“按比率计算”之义，如《墨子.备成门》有：“字法：五十步丈夫十人，丁女二十人，老小十人，计五十步四十人。城下楼率，率一步一人，二十步二十人。城人大以此率之，乃是以守圉”。此文段中第一“率”是作“按比率计算”之意，第二个“率”是“比率”之义。《墨子.杂守》中则提供一个“比率”计算的实例：“斗食，终岁三十六石；参食，终岁二十四石；四食，终岁十八石；五食，终岁十四石四斗；六食，终岁十二石。斗食食五升，参食食参升小半，四食二升半，五食食二升，六食食一升大半，日再食。救死之时，日二升者二十日，日三升者三十日，日四升者四十日，如是，而民免于九十日之约矣。”这段文涉及的一个复杂的比率，即36：24：18：14 ：12=5：3 ：2 ：2：1 。

四是通“帅”，有“领导”、“将领”之意 ，如《墨子.迎敌祠》有：“城上步一甲、一戟，其赞三人。五步有五长，十步有什长，百步有百长，旁有大率，中有大将，皆有司吏卒长。”又如《墨子.号令》：“若或逃亡，亦杀。凡将率斗其众失法，杀。有司不使去率、吏民闻誓令。代之服罪。”

五作“大约”之义，如《墨子.杂守》中有：“子墨子曰：‘凡不守着有五：城大人少，一不守也；城小人众，二不守也；人众食寡，三不守也；市去城远，四不守也；畜积在外，富人在虚，五不守也。率万家而城方三里。”

2.刘徽注中用“率”

一般说来，古代汉语“率”多是作上述一、二、四、五义，而少有作“三义”。《墨子》是较早使用“率”作“比率”之义的古文献。而广泛使此义的文献当属《九章算术》。郭书春先生认为“率”乃《九章算术》乃至中国古代数学之纲纪，刘钝先生也认为：“中算家关于率的概念是围绕着一系列算法而产生和发展的：它不仅构成中国古代分数论的理论基础，而且是处理中国古算学[1]中一系列涉及多个数量关系之算法的有力工具；同时，由于采用算筹记数和表达数量关系，中算家在率的概念之深刻、应用之广泛，以及有关算法的灵活性和机械化程度等方面都胜过前者（中指古希腊数学）一筹。”的确，单从“率”在《九章算术》中的出现频率或次数来看也是相当高的，在《九章算术》约2万五千字中“率”字出现68次，出现频率约千分之三，是《九章算术》中出现次数最多或出现频率最高的一个数学概念。

我们认为，《九章算术》“率”义与《墨子》“率”之一义相同，可能是一种偶然，也可能存在某种联系：《九章算术》使用并发展了《墨子》“率”字“比率”之义。

《九章算术》中的“率”概念在《周髀算经》中已出现。《周髀算经》卷上“测日径木”云：“即取竹，空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空。由是观之，率八十寸而得径一寸。……从髀所袤至日所十万里。以率率之，八十里得径一里。十万里得径七那二百五十里。”这段文论中，前两个“率”字之义是“比率”，一个则“率”字之义则是“按比率计算”的意思。

《墨子》一书当成书于公元前四世纪，即使《筭数书》也不过成书于公元前二世纪，另外《墨子》是现见可察知记载数学知识最多的诸子文论，因此，《周髀算经》、《九章算术》的“率”与《墨子》的“率”存在联系，不是没有可能的。

邹大海先生也认为刘徽思想深受墨家思想的影响，他论述道：“墨家‘非半、弗斱’的命题，认为分割的不断进行最后得到一个‘端’，而‘端’是没有大小、量度为零、但又不是什么都没有的东西。由于刘徽要考虑的是分割到最后所得到的东西的体积，所以，从他受墨家思想的影响看，刘徽把那个最后得到的东西弃而不取(实际只是不取其体积)，不存在什么观念上的困难。……首先，刘徽的这种处理[2]是比较符合直观的。从6边形到12边形、到24边形、……，在这样越来越接近圆面积的趋势中，圆以多边形代替，所失的面积会越来越少，这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合。我们知道，讲求直观是中国古代数学的传统。……其次，从墨家传统看，刘徽的处理也比较好理解。《墨经》中‘无穷不害兼，说在盈否’的命题，按郭书春的解释，具有这样的意思：一个含有无穷多个部分的整体，只要一个部分都不缺，就不会影响这个整体，虽然我们不能肯定这个解释是否一定符合《墨经》作者的原意，但后世学者从这样一个表述笼统的命题中获得某种思想是可能的，何况这个解释与《墨经》其它地方所表现的无限思想也不相矛盾。按照这个解释，在圆不可割状态下与之重合的无穷多边形，被分解为无穷多个三角形求和，是完全没有问题的；这无穷多个三角形只要一个不落就对无穷多边形、因而也就对圆的面积不会有影响。……刘徽大胆地直接用无限过程来处理数学问题，而没有什么顾虑，这与古希腊学者大不一样。这一方面是由于刘徽时期及其以前不存在怀疑无限观念的传统，另一方面这也与中国古代数学注重实际，讲求直观的传统相一致。刘徽在无限过程的运用上，其思想和墨、道两家是一脉相承的”[3]。

3.刘徽注强调用“率”进一步确立了“以率为类”、“以类合类”数学逻辑思路

尽管我们不能简单凭刘徽注的用率情况与墨子用率有相同、相通之处，就断定刘徽注与墨子关系的程度，但至少可以说，刘徽注用“率”的确参照了墨子用“率”。

同时，结合本文第二章第四节、第三章和本章（前文或后续）有关论述，我们可以有这样的重要结论：刘徽特别注重“率”之应用以及强调以“率”为算之纲纪，事实上是进一步确立了“以率为类”、“以类合类”数学逻辑思路成为《九章算术》以及刘徽注中基本推理模式和主导推理类型。