刘徽用“率”与墨家*


刘徽用“率”与墨家*

刘邦凡

(燕山大学文法学院·河北秦皇岛·066004)

摘 要:“率”是刘徽《九章算术注》中一个核心概念,所用涵义与墨家用“率”之义有相近之处,验证了刘徽注受到了墨家思想的影响。

关键词:刘徽;九章算术注;率;墨家。

在先秦诸子,墨家不仅以逻辑、更以科学著作著称,《墨子》一书集科学技术、社会文化、名辩学之大成。在先秦曾与儒家并称显学。然秦毁百书,禁百学,墨儒均被严重摧毁。及至汉武罢黜百家、独尊儒术,法、道、阴阳诸家逐渐靠拢儒学,独墨学从此中绝,几成绝学。可幸魏晋时起,两汉经学已走到尽头,儒学独尊局面而不复存在,崇尚清谈、好名言理之人,重新开始重视起墨家一学来。生活在这个时代的刘徽正是这样一个人。刘徽的《九章算术注》中明显看出,刘徽对儒、道、墨、易等诸家的重视,尤其是对墨家的重视。我们为进一步说明——刘徽注深受墨家的影响,我们不妨以刘徽注用“率”与墨家用“率”作一个比较。

1.“率”在《墨子》中有四义

一是作“带领、率领”之义,如:

“昔子圣王禹汤文武,兼爱天下之百姓,率以尊天事鬼,其利人多,故天福之,使立为天子,天下诸侯皆宾事之。暴王桀纣幽厉,兼恶天下之百姓,以主后天?侮鬼,其贼人多,故天祸之,至今不息。” (《墨子.法仪四》)

又如,“里长既同其里之义,率其里之万民,以尚同乎乡长” 、“君治其国,而国既已治矣,有章其国之万民,以尚乎天子” (《墨子.尚同中》)。

再如,“然则天亦何欲何恶?天欲义而恶不义。然而率天下之百姓以从事于义,则我乃为天之所欲也”(《墨子.天志上》)。

二是通“律”、“警”,有鞭策、警策之义,如《尚同下》有说:“是故子墨子曰:‘凡使民尚同者,爱民不疾,民不可使,曰必疾爱而使之,致信而持之,富贵以道其前,明罚以率其后。为政若此,唯欲毋与我同,将不可得也。”

三是作“比率”或“按比率计算”之义,如《墨子.备成门》有:“字法:五十步丈夫十人,丁女二十人,老小十人,计五十步四十人。城下楼率,率一步一人,二十步二十人。城人大以此率之,乃是以守圉”。此文段中第一“率”是作“按比率计算”之意,第二个“率”是“比率”之义。《墨子.杂守》中则提供一个“比率”计算的实例:“斗食,终岁三十六石;参食,终岁二十四石;四食,终岁十八石;五食,终岁十四石四斗;六食,终岁十二石。斗食食五升,参食食参升小半,四食二升半,五食食二升,六食食一升大半,日再食。救死之时,日二升者二十日,日三升者三十日,日四升者四十日,如是,而民免于九十日之约矣。”这段文涉及的一个复杂的比率,即36:24:18:14 :12=5:3 :2 :2:1

四是通“帅”,有“领导”、“将领”之意 ,如《墨子.迎敌祠》有:“城上步一甲、一戟,其赞三人。五步有五长,十步有什长,百步有百长,旁有大率,中有大将,皆有司吏卒长。”又如《墨子.号令》:“若或逃亡,亦杀。凡将率斗其众失法,杀。有司不使去率、吏民闻誓令。代之服罪。”

五作“大约”之义,如《墨子.杂守》中有:“子墨子曰:‘凡不守着有五:城大人少,一不守也;城小人众,二不守也;人众食寡,三不守也;市去城远,四不守也;畜积在外,富人在虚,五不守也。率万家而城方三里。”

2.刘徽注中用“率”

一般说来,古代汉语“率”多是作上述一、二、四、五义,而少有作“三义”。《墨子》是较早使用“率”作“比率”之义的古文献。而广泛使此义的文献当属《九章算术》。郭书春先生认为“率”乃《九章算术》乃至中国古代数学之纲纪,刘钝先生也认为:“中算家关于率的概念是围绕着一系列算法而产生和发展的:它不仅构成中国古代分数论的理论基础,而且是处理中国古算学[1]中一系列涉及多个数量关系之算法的有力工具;同时,由于采用算筹记数和表达数量关系,中算家在率的概念之深刻、应用之广泛,以及有关算法的灵活性和机械化程度等方面都胜过前者(中指古希腊数学)一筹。”的确,单从“率”在《九章算术》中的出现频率或次数来看也是相当高的,在《九章算术》约2万五千字中“率”字出现68次,出现频率约千分之三,是《九章算术》中出现次数最多或出现频率最高的一个数学概念。

我们认为,《九章算术》“率”义与《墨子》“率”之一义相同,可能是一种偶然,也可能存在某种联系:《九章算术》使用并发展了《墨子》“率”字“比率”之义。

《九章算术》中的“率”概念在《周髀算经》中已出现。《周髀算经》卷上“测日径木”云:“即取竹,空径一寸,长八尺,捕影而视之,空正掩日,而日应空。由是观之,率八十寸而得径一寸。……从髀所袤至日所十万里。以率率之,八十里得径一里。十万里得径七那二百五十里。”这段文论中,前两个“率”字之义是“比率”,一个则“率”字之义则是“按比率计算”的意思。

《墨子》一书当成书于公元前四世纪,即使《筭数书》也不过成书于公元前二世纪,另外《墨子》是现见可察知记载数学知识最多的诸子文论,因此,《周髀算经》、《九章算术》的“率”与《墨子》的“率”存在联系,不是没有可能的。

邹大海先生也认为刘徽思想深受墨家思想的影响,他论述道:“墨家‘非半、弗斱’的命题,认为分割的不断进行最后得到一个‘端’,而‘端’是没有大小、量度为零、但又不是什么都没有的东西。由于刘徽要考虑的是分割到最后所得到的东西的体积,所以,从他受墨家思想的影响看,刘徽把那个最后得到的东西弃而不取(实际只是不取其体积),不存在什么观念上的困难。……首先,刘徽的这种处理[2]是比较符合直观的。从6边形到12边形、到24边形、……,在这样越来越接近圆面积的趋势中,圆以多边形代替,所失的面积会越来越少,这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合。我们知道,讲求直观是中国古代数学的传统。……其次,从墨家传统看,刘徽的处理也比较好理解。《墨经》中‘无穷不害兼,说在盈否’的命题,按郭书春的解释,具有这样的意思:一个含有无穷多个部分的整体,只要一个部分都不缺,就不会影响这个整体,虽然我们不能肯定这个解释是否一定符合《墨经》作者的原意,但后世学者从这样一个表述笼统的命题中获得某种思想是可能的,何况这个解释与《墨经》其它地方所表现的无限思想也不相矛盾。按照这个解释,在圆不可割状态下与之重合的无穷多边形,被分解为无穷多个三角形求和,是完全没有问题的;这无穷多个三角形只要一个不落就对无穷多边形、因而也就对圆的面积不会有影响。……刘徽大胆地直接用无限过程来处理数学问题,而没有什么顾虑,这与古希腊学者大不一样。这一方面是由于刘徽时期及其以前不存在怀疑无限观念的传统,另一方面这也与中国古代数学注重实际,讲求直观的传统相一致。刘徽在无限过程的运用上,其思想和墨、道两家是一脉相承的”[3]

3.刘徽注强调用“率”进一步确立了“以率为类”、“以类合类”数学逻辑思路

尽管我们不能简单凭刘徽注的用率情况与墨子用率有相同、相通之处,就断定刘徽注与墨子关系的程度,但至少可以说,刘徽注用“率”的确参照了墨子用“率”。

同时,结合本文第二章第四节、第三章和本章(前文或后续)有关论述,我们可以有这样的重要结论:刘徽特别注重“率”之应用以及强调以“率”为算之纲纪,事实上是进一步确立了“以率为类”、“以类合类”数学逻辑思路成为《九章算术》以及刘徽注中基本推理模式和主导推理类型。



* 本文系教育部哲学社会科学重大攻关项目“现代归纳逻辑的创新功能与应用及其认知基础研究”的系列研究成果之一。课题编号为:05JZD0008。

作者简介:刘邦凡(1967—),重庆涪陵人,博士,燕山大学文法学院院长、教授、博士生导师,主要从事逻辑学、数学史等研究。邮箱:[email protected]

[1] 刘钝,大哉言数[M],沈阳:辽宁教育出版社,1993.154-155.

[2] 指刘徽的无限割圆方法.

[3] 邹大海,刘徽的无限思想及其解释[J],自然科学史研究,1995.1.12-21.