周髀算经

说明：《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一。中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。 《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理。（周髀算经_百度百科）。现将繁体字简化，并用阿拉伯数字取代文中汉字数字，以方便今人阅读。

 

上卷一

　　昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？

　　商高曰：数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为句广三、股修四、径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。

　　周公曰：大哉言数，请问用矩之道？

　　商高曰：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。环矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天，天圆地方。方数为典，以方出圆。笠以写天，天青黑，地黄赤，天数之为笠也。青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。是故，知地者智，知天者圣。智出于句，句出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，惟所为耳。

　　周公曰：善哉。

 

上卷二

　　昔者荣方问于陈子曰：今者窃闻夫子之道，知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。夫子之道，皆能知之，其信有之乎？

　　陈子曰：然。

　　荣方曰：方虽不省，愿夫子幸而说之，今若方者，可教此道耶？

　　陈子曰：然。此皆算术之所及，子之于算，足以知此矣，若诚累思之。

　　于是荣方归而思之，数日不能得，复见陈子曰：方思之不能得，敢请问之？

　　陈子曰：思之未熟，此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通类，是智有所不及，而神有所穷。夫道术，言约而用博者，智类之明。问一类而以万事达者，谓之知道。今子所学算数之术，是用智矣，而尚有所难，是子之智类单。夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。既博矣，患其不习。既习矣，患其不能知。故同术相学，同事相观，此列士之愚智，贤不肖之所分。是故能类以合类，此贤者业精习智之质也。夫学同业而不能入神者，此不肖无智，而业不能精习。是故算不能精习，吾岂以道隐子哉，固复熟思之。

　　荣方复归思之，数日不能得，复见陈子曰：方思之以精熟矣，智有所不及，而神有所穷，知不能得，愿终请说之。

　　陈子曰：复坐，吾语汝。于是荣方复坐，而请陈子之说曰：夏至南16000里，冬至南135000里。日中立竿测影，此一者，天道之数。周髀长8尺，夏至之日晷1尺6寸。髀者，股也。正晷者，句也。正南千里，句1尺5寸，正北千里，句1尺7寸。日益表南，晷日益长。候句6尺，即取竹空径1寸，长8尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空之孔。由此观之，率80寸，而得径1寸。故以句为首，以髀为股。从髀至日下60000里，而髀无影，从此以上至日，则80000里。若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日，从髀所旁至日所100000里。以率率之80里得径1里，100000里得径1250里。故曰：日晷径1250里。法曰：周髀长8尺，句之损益，寸千里。故曰：极者，天广袤也。今立表高8尺以望极，其句1丈03寸，由此观之，则从周北103000里而至极下。

　　荣方曰：周髀者何？

　　陈子曰：古时天子治周，此数望之从周，故曰周髀。髀者，表也。日夏至南16000里，日冬至南135000里，日中无影。以此观之，从南至夏至之日中119000里。北至其夜半亦然。凡径，238000里，此夏至日道之径也。其周，714000里。从夏至之日中，至冬至之日中，119000里。北至极下亦然。则从极南至冬至之日中，238000里。从极北至其夜半亦然。凡径476000里，此冬至日道径也，其周1428000里，从春秋分之日中北至极下，178500里。从极下北至其夜半亦然。凡径357000里，周1071000里。故曰月之道常缘宿，日道亦与宿正。南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦径357000里，周1071000里。春分之日夜分，以至秋分之日夜分，极下常有日光。秋分之日夜分，以至春分之日夜分，极下常无日光。故春秋分之日夜分之时，日光所照适至极，阴阳之分等也。冬至夏至者，日道发敛之所生也，至昼夜长短之所极。春秋分者，阴阳之修，昼夜之象。昼者阳，夜者阴。春分以至秋分，昼之象。秋分至春分，夜之象。故春秋分之日中，光之所照北极下，夜半日光之所照亦南至极，此日夜分之时也。故曰日照四旁，各167000里。人所望见，远近宜如日光所照。从周所望见，北过极64000里，南过冬至之日32000里。夏至之日中光，南过冬至之日中光48000里。南过人所望见16000里，北过周151000里，北过极48000里。冬至之夜半日光，南不至人目所见7000里，不至极下71000里。夏至之日中与夜半日光96000里，过极相接。冬至之日中与夜半日光，不相及142000里，不至极下71000里。夏至之日，正东西望，直周东西日下至周59598里半。冬至之日，正东西方不见日。以算求之，日下至周214557里半。凡此数者，日道之发敛。冬至夏至，观律之数，听钟之音。冬至昼，夏至夜，差数及日光所还观之。四极径810000里，周2430000里。从周南至日照处302000里，周北至日照处508000里，东西各391683里半。周在天中南13000里，冬至日135000里，冬至日道径476000里，周1428000里。日光四极当周东西各391683里有奇。此方圆之法。

　　万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉。或毁方而为圆，或破圆而为方。方中为圆者，谓之圆。圆中为方者，谓之方圆也。

 

上卷三

　　凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分，分1000里。凡用缯方8尺1寸。今用缯方4尺5分，分为2000里。

　　吕氏曰：凡四海之内，东西28000里，南北26000里。

　　凡为日月运行之圆周，七衡周而六间，以当6月，节6月为182又5/8日。故日夏至在东井极内衡，日冬至在牵牛极外衡也。衡复更，终冬至。故曰一岁365又1/4日，岁一内极一外极。30又7/16日，月一外极一内极。是故，一衡之间，198333又1/3里，即为100步。欲知次衡径，倍而增内衡之径，二之以增内衡径。次衡放此。

　　内一衡径238000里，周714000里。分为365又1/4度，度得1954里247又933/1461步。

　　次二衡径277666里200步，周833000里。分里为度，度得2280里188又1332/1461步。

　　次三衡径317333里100步，周952000里。分为度，度得26606里130又270/1461步。

　　次四衡径357000里．周1071000里。分为度，度得2932里71又669/1461步。

　　次五衡径396666里200步，周1190000里。分为度，度得3258里12又1068/1461步。

　　次六衡径436333里100步，周1309000里。分为度，度得3583里254又6/1461步。

　　次七衡径476000里，周1428000里。分为度，度得3909里195又405/1461步。

　　其次曰冬至所北照，过北衡167000里，为径810000里，周2430000里。分为365又1/4度，度得6652里293又327/1461步。过此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其难知，此言上圣不学而知之。

　　故冬至日晷1丈3尺5寸，夏至日晷1尺6寸。冬至日晷长，夏至日晷短。日晷损益，寸差千里。故冬至夏至之日，南北游119000里。四极径810000里，周2430000里。分为度，度得6652里293又327/1461步。此度之相去也。

其南北游，日651里182又798/1461步。

　　术曰：置119000里为实，以半岁182又5/8日为法而通之，得952000为实。所得1461为法，除之。实如法得一里。不满法者，三之，如法得百步。不满法者，十之，如法得十步。不满法者，十之，如法得一步。不满法者，以法命之。

 

下卷一

　　凡日月运行四极之道。极下者，其地高，人所居60000里，滂沱四隤而下。天之中央，亦高四旁60000里。故日光外所照，径810000里，周2430000里。故日运行处极北，北方日中，南方夜半。日在极东，东方日中，西方夜半。日在极南，南方日中，北方夜半。日在极西，西方日中，东方夜半。凡此四方者，天地四极四和。昼夜易处，加四时相及。然其阴阳所终，冬夏所极，皆若一也。

　　天象盖笠，地法覆盘。天离地80000里，冬至之日虽在外衡，常出极下地上20000里。故日兆月，月光乃出。故成明月，星辰乃得行列。是故秋分以往到冬至，三光之精微，以成其道远，此天地阴阳之性自然也。

　　欲知北极枢旋周四极，当以夏至夜半时，北极南游所极。冬至夜半时，北游所极。冬至日加酉之时，西游所极。日加卯之时，东游所极。此北极璇玑四游。

　　正北极枢璇玑之中，正北天之中。正极之所游，冬至日加酉之时，立8尺表，以绳系表颠，希望北极中大星，引绳致地而识之。又到旦明日加卯之时，复引绳希望之。首及绳致地，而识其端相去2尺3寸，故东西极23000里。其两端相去正东西，中折之以指表，正南北。加此时者，皆以漏揆度之，此东西南北之时。其绳致地，所识去表1丈3寸，故天之中去周103000里。何以知其南北极之时？以冬至夜半北游所极也，北过天中11500里，以夏至南游所极，不及天中11500里，此皆以绳系表颠而希望之。北极至地所识1丈1尺4寸5分，故去周114500里。过天中11500里，其南极至地所识9尺1寸5分，故去周91500里，其南不及天中11500里。此璇玑四极南北过不及之法，东西南北之正句。

　　周去极103000里，日去人167000里，夏至去周16000里。夏至日道径238000里，周714000里。春秋分日道径357000里，周1071000里。冬至日道径476000里，周1428000里。日光四极810000里，周2430000里，从周南302000里。

璇玑径23000里，周69000里，此阳绝阴彰，故不生万物。

　　其术曰：立正句定之。以日始出，立表而识其晷，日入复识其晷。晷之两端相直者，正东西也。中折之，指表者，正南北也。

　　极下不生万物，何以知之？冬至之日去夏至119000里，万物尽死。夏至之日去北极119000里，是以知极下不生万物。北极左右，夏有不释之冰。春分秋分，日在中衡。春分以往，日益北59500里而夏至。秋分以往，日益南59500里而冬至。中衡去周75500里，中衡左右，冬有不死之草，夏长之类。此阳彰阴微，故万物不死，五谷一岁再熟。凡北极之左右，物有朝生暮获。

　　立二十八宿，以周天历度之法。

　　术曰：倍正南方，以正句定之。即平地径21步，周63步。令其平矩以水正，则位径121尺7寸5分，因而三之，为365又1/4尺，以应周天365又1/4日。审定分之，无令有纤微。分度以定，则正督经纬，而1/4，合各91又5/16度，于是圆定而正。

　　则立表正南北之中央，以绳系颠，希望牵牛中央星之中。则复候须女之星先至者，如复以表绳，希望须女先至定中。即以一游仪，希望牵牛中央星，出中正表西几何度。各如游仪所至之尺为度数，游在于八尺之上，故知牵牛八度。其次星放此，以尽二十八宿度则定矣。立周度者，各以其所先至游仪度上，车辐引绳就中央之正以为毂，则正矣。日所以入，亦以周定之。欲知日之出入，即以365又1/4度而各置二十八宿，以东井夜半中，牵牛之初临子之中，东井出中正表西30又7/16度而临未之中，牵牛初亦当临丑之中，于是天与地协。乃以置周二十八宿。置以定，乃复置周度之中央立正表。以冬至夏至之日，以望日始出也，立一游仪于度上，以望中央表之晷。晷参正，则日所出之宿度。日入放此。

 

下卷二

　　牵牛去北极115度，1695里21又819/1461步。

　　术曰：置外衡去北极枢238000里，除璇玑11500里。其不除者，226500里以为实。以内衡一度数1954里247又933/1461步以为法，实如法，得一度。不满法，求里步。约之，合300得一以为实。以1461分为法，得一里。不满法者，三之，如法得百步。不满法者，又上十之，如法得一步。不满法者，以法命之。次，放此。

　　娄与角去北极91度，610里264又1296/1461步。

　　术曰：置中衡去北极枢178500里以为实，以内衡一度数为法，实如法得一度。不满法者，求里步。不满法者，以法命之。

　　东井去北极66度，1481里155又1245/1461步。

　　术曰：置内衡去北极枢1190000里，加璇玑11500里，得130500里以为实。以内衡一度数为法，实如法得一度。不满法者，求里步。不满法者，以法命之。

　　凡八节二十四气，气损益9寸9又1/6分。冬至晷长1丈3尺5寸，夏至晷长1尺6寸，问次节损益寸数长短各几何？

　　冬至晷长1丈3尺5寸。

　　小寒1丈2尺5寸。

　　大寒1丈1尺5寸1分。

　　立春1丈5寸2分。

　　雨水9尺5寸3分。

　　启蛰8尺5寸4分。

　　春分7尺5寸5分。

　　清明6尺5寸5分。

　　谷雨5尺5寸6分。

　　立夏4尺5寸7分。

　　小满3尺5寸8分。

　　芒种2尺5寸9分。

　　夏至1尺6寸。

　　小暑2尺5寸9分。

　　大暑3尺5寸8分。

　　立秋4尺5寸7分。

　　处暑5尺5寸6分。

　　白露6尺5寸5分。

　　秋分7尺5寸5分。

　　寒露8尺5寸4分。

　　霜降9尺5寸3分。

　　立冬1丈5寸2分。

　　小雪1丈1尺5寸1分。

　　大雪1丈2尺5寸。

　　凡为八节二十四气，气损益9寸9又1/6分。冬至夏至为损益之始。

　　术曰：置冬至晷，以夏至晷减之，余为实。以十二为法，实如法得一寸。不满法者，十之，以法除之，得一分。不满法者，以法命之。

　　月后天13又7/19度。

　　术曰：置章月235，以章岁19除之，加日行一度，得13又7/19度。此月一日行之数，即后天之度及分。

　　小岁，月不及，故舍354又6612/17860度。

　　术曰：置小岁354又348/940日，以月后天13又7/19度乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法，得积后天4737又6612/17860度。以周天365又4465/17860度除之，其不足除者，354又6612/17860度。此月不及，故舍之分度数。他皆放此。

大岁，月不及，故舍18又1628/17860度。

　　术曰：置大岁384又847/940日，以月后天13又7/19度乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法，得积后天5132又2698/17860度。以周天除之，其不足除者，此月不及，故舍之分度数。

　　经岁，月不及，故舍134又10105/17860度。

　　术曰：置经岁365又235/940日。以月后天13又7/19度乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法，得积后天4882又14570/17860度。以周天除之，其不足除者，此月不及，故舍之分度数。

　　小月，不及，故舍22又7755/17860度。

　　术曰：置小月29日，以月后天13又7/19度乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法，得积后天387又12220/17860度。以周天分除之，其不足除者，此月不及，故舍之分度数。

　　大月，不及，故舍35又14335/17860度。

　　术曰：置大月30日，以月后天13又7/19度乘之，为实，又以度分母乘日分母为法，实如法，得积后天401又940/17860度。以周天除之，其不足除者，此月不及，故舍之分度数。

　　经月，不及，故舍29又9481/17860度。

　　术曰：置经月29又499/940日，以月后天13又7/19度乘之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法，得积后天394又3946/17860度。以周天除之，其不足除者，此月不及，故舍之分度数。

 

下卷三

　　冬至昼极短，日出辰而入申。阳照三，不覆九。东西相当，正南方。夏至昼极长，日出寅而入戌。阳照九，不覆三。东西相当，正北方。

　　日出左而入右，南北行。故冬至从坎阳在子，日出巽而入坤，见日光少，故曰寒。夏至从离阴在午，日出艮而入干，见日光多，故曰暑。

　　日月失度，而寒暑相奸。往者诎，来者信也，故诎信相感。故冬至之后，日右行，夏至之后，日左行。左者往，右者来。

　　故月与日合为一月，日复日为一日，日复星为一岁。外衡冬至，内衡夏至。六气复返，皆谓中气。

　　阴阳之数，日月之法。19岁为一章。四章为一蔀，76岁。20蔀为一遂，遂1520岁。三遂为一首，首4560岁。七首为一极，极31920岁。生数皆终，万物复始。天以更元作纪历。

　　何以知天365又1/4度，而日行一度。而月后天13又7/19度，29又499/940日为一月。12又7/19月为一岁。周天除之，其不足除者，如合朔。

　　古者包牺神农制作为历，度元之始，见三光未如其则，日月列星，未有分度。日主昼，月主夜，昼夜为一日。日月俱起建星。月度疾，日度迟。日月相逐于29日30日间，而日行天29度余，未有定分。

　　于是365日南极影长，明日反短，以岁终日影反长，故知之365日者三，366日者一。故知一岁365又1/4日，岁终也。月积后天13周，又与134度余。无虑后天13又7/19度，未有定。

　　于是日行天76周，月行天1016周，及合于建星。

　　置月行后天之数，以日后天之数除之，得13又7/19度，则月一日行天之度。

　　复置76岁之积月，以76岁除之，得12又7/19月，则一岁之月。

 置周天度数，以12又7/19月除之，得29又499/940日，则一月日之数。