多种太极图数学模型的分析

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多种太极图数学模型的分析
 
叶阳红
 
内容提要: 本文通过对目前已知的多种太极图数学模型形成的机理、产生的图形和适用的条件等要素进行分析，并用周期变化、对立统一、阴阳消长、阴阳转化等特性与太极图理论作相应的比较，从中选择满足太极图理论要求的月相模型作为理想的太极图数学模型。
关 键 词：数学模型、太极图、太极阴阳理论、阿基米德螺线、周髀算经、月相模型、李仕澂
 
1. 李仕澂的太极图数理模型
李仕澂（东南大学教授）于1989年开始，从数理科学的角度切入《易经》研究，通过对太极图阴阳鱼分界线及鱼眼数学原理的分析，按“天地定位”和“地天定位”的原则，将图分成左右两半，结合先天（伏羲）六十四卦卦位辐长的变化轨迹，建立起太极图的数理模型（简称李氏模型）。用极角表示的数理模型其极角θ的起始点为０和终点为π，阴阳曲线上点的运动轨迹可用极径（幅长）ρ表示为：
ρ＝Ｒ·θ／π    θ∈[０，π]    （1）
　　式中：Ｒ为太极图的半径，决定了阴阳曲线的变化曲率。θ为极角，分左右两半，取值范围为０≤θ≤π。
式（1）与阿基米德螺线方程ρ＝±ａ·θ很相似，都是以极角θ为变量的极坐标函数。所不同的是：太极阴阳曲线极角θ的取值范围为０～π的有限区间，而阿基米德螺线则极角θ的取值范围为0～+∝的无限区间。太极阴阳两条曲线呈旋转对称，而阿基米德两条螺线呈极轴对称。
           
图一  李氏模型太极图                     图二    阿基米德螺线
图一、图二表示的是李氏模型太极图和阿基米德螺线。图一中的S曲线方向与李氏模型原图不相同是因为该图包括后续的图形都是用太极坐标系绘制的。
李氏模型的另一种形式是用自然序数n表示的数学模型。N为李氏模型的模数，n为0～N之间的自然序数，极角也是随n取值变化：
ρ＝Ｒ·2n／N    n∈[０，N]    （2）
θ＝π·2n／N
李仕澂教授从明朝来知德《易经来氏图解》书中得到启发，特别是注有“动极而静，静极复动”字样的《先天画卦图》，具有正确的图形摆位。根据图中子中午中、冬至夏至以及八卦与方位环绕着中心的黑白阴阳鱼作均匀分布的特征，他总结归纳出数学模型，当N分别取十二、三十、二十四、六十四时，可把十二消息卦的卦爻变化、一个月三十天的月相变化、一年二十四节气的晷景长度变化以及先天六十四卦卦爻的变化，统一反映在了一个太极图形之中。
 
图三 李氏模型综合图（源于李仕澂的《玻尔“并协原理”与〈八卦太极图〉》）
李氏模型一定程度上反映出太极阴阳变化的规律，但它反映的是一个与极角相关的线性极坐标方程，主要从时序方面加以描述，曲线的形状不够理想，每种现象没有明确其特征参数，最关键的是李氏模型极角θ的取值范围为０～π的有限区间（分左右两半），无法正确反映太极阴阳的周而复始、循环往复的变化过程，即不能满足周期函数关系式：F（t）= F（t+T）或F（θ）= F（θ+2kπ）。不过这种用极坐标表示且将太极图阴阳曲线分为两半的方法是值得借鉴的。
 
2. 《周髀算经》的太极图数理模型之一
《从日晷到太极两仪图的演变过程探秘》一文中已经将《周髀算经》记载的晷影数据用图表的方法绘制出了太极两仪图。下面从数学角度进行探讨。
为了便于分析讨论，对《周髀算经》记载的数据作适当的处理，把影长的市尺计量单位转换为米制，古时的１市尺等于现代的0.25米，日晷影长用L表示。二十四个节气的日晷影长如表一所示。
从表一中可知，观测点处于北半球，最大日晷影长是在冬至的位置，其值为3.375米，最小日晷影长是在夏至的位置，其值为0.400米。而春分与秋分的日晷影长相等，其值为1.8875米。冬至过后，日晷影长逐渐变短，夏至过后则慢慢增加。如果将二十四个节气视作均匀的时段，那么日晷影长与节气有线性关系。
表一、日晷影长表
序号
节气
日晷影长（市尺）
日晷影长（米）
日晷影长计算值（米）
误差值（米）
1
冬至
13.5
3.3750
3.3750
0.0000
2
小寒
12.5
3.1250
3.1271
0.0021
3
大寒
11.51
2.8775
2.8792
0.0017
4
立春
10.52
2.6300
2.6313
0.0013
5
雨水
9.53
2.3825
2.3833
0.0008
6
惊蛰
8.54
2.1350
2.1354
0.0004
7
春分
7.55
1.8875
1.8875
0.0000
8
清明
6.55
1.6375
1.6396
0.0021
9
谷雨
5.56
1.3900
1.3917
0.0017
10
立夏
4.57
1.1425
1.1438
0.0012
11
小满
3.58
0.8950
0.8958
0.0008
12
芒种
2.59
0.6475
0.6479
0.0004
13
夏至
1.6
0.4000
0.4000
0.0000
14
小暑
2.59
0.6475
0.6479
0.0004
15
大暑
3.58
0.8950
0.8958
0.0008
16
立秋
4.57
1.1425
1.1438
0.0012
17
处暑
5.56
1.3900
1.3917
0.0017
18
白露
6.55
1.6375
1.6396
0.0021
19
秋分
7.55
1.8875
1.8875
0.0000
20
寒露
8.54
2.1350
2.1354
0.0004
21
霜降
9.53
2.3825
2.3833
0.0008
22
立冬
10.52
2.6300
2.6313
0.0013
23
小雪
11.51
2.8775
2.8792
0.0017
24
大雪
12.5
3.1250
3.1271
0.0021
25
冬至
13.5
3.3750
3.3750
0.0000
 
春分与秋分的日晷影长为冬至和夏至日晷影长的平均值：
L=（3.375+0.40）/2=3.775/2=1.8875（米）
因此，只要精确测出冬至和夏至的日晷影长，并可计算出其它节气的日晷影长。其数学表达式如下：
从冬至到夏至的日晷影长：
L=（3.375-0.40）×（13-n）/12+0.40  n∈[1,13] （3）
从夏至到冬至的日晷影长：
L=（3.375-0.40）×（n-13）/12+0.40  n∈[13,25] （4）
式中：n为节气序数。节气序数从冬至1开始到大雪24结束，然后反复循环，进入下一个周期（即从冬至25开始）。
（3）、（4）两式可简化为：
L≈3.622917-0.2479167n      n∈[1,13]      （5）
L≈0.2479167n-2.822917      n∈[13,25]     （6）
如清明的节气序数n=8，则用（5）式计算：
L=3.622917-0.2479167×8 ≈1.6396(米)
小雪的节气序数n=23，则用（6）式计算：
L=0.2479167×23-2.822917≈2.8792(米)
从表一查得，清明日晷影长为1.6375米，小雪日晷影长为2.8775米，计算结果与记载的数据非常接近。
各个节气的日晷影长的计算结果如表一所列，表一同时也列出了计算值与记载数据的误差值。两者的最大误差只有2个毫米左右。
由于式（5）（6）是依据《周髀算经》记载的晷影数据归纳出来的数学模型，我们把这组方程称之为周髀模型。
            
图四  周髀模型雷达图                         图五 周髀模型雷达图（净长）
周髀模型是日晷影长从冬至开始计算的，为了便于分析比较我们将日晷影长从夏至开始计算，并将夏至的相对影长设置为0值，而且节气的自然序数也从0开始，这样式（5）（6）可转换为
L≈0.2479167n              n∈[0,11]      （7）
L≈3.22917-0.2479167n      n∈[12,24]     （8）
将式（7）与式（2）作比较，我们可以发现，转换以后的周髀模型与李氏模型几乎一模一样，都是自然序数的线性方程。所以，周髀模型的特点与李氏模型相仿，这里不再复述。
 
3. 《周髀算经》的太极图数理模型之二
如果将周髀模型的数据与实测日晷影长数据（可以通过观察测得）相比较，会发现两者除了冬至与夏至的数据吻合外，其余数据都是有差异的。这一点在《周髀算经》的记载中就已经作了充分的叙述，“问次节损益寸数长短各几何？”“凡为八节二十四气，气损益九寸九分，六分分之一。冬至夏至为损益之始。”（注：古代计量单位与现代计量单位转换，九寸九分六分分之一约等于0.2479167米）。由此可见，《周髀算经》记载的日晷影长数据是用近似的数学方法计算出来的，并不是真正的日晷观察数据，而这组数据足足影响了中国二千多年的历史，实才有点遗憾。这也说明中国先贤在解决实际问题过程中的一种态度，处理问题不够严谨，缺乏求证，即没能步入西方的通过对经验的归纳总结，建立对应的数学模型，然后与实际现象进行验证的正确途径。另外，还有一道屏障阻挡着中国人思维进程，那就是中国人没有建立观察角度与数据比值之间的关系，角度与数据比值之间的关系被西方定义为三角函数。这是非常意外的，因为产生三角函数的前期基础工作中国人都已经完成了，比如数字的加减乘除，还有建立时间比希腊还早的直角三角形勾股定律以及圆周运动的角度等等。三角函数表现的是一种非线性比例关系。很多情况下，人们观察的现象都是以非线性规律运动变化的。用线性数据模型去解决非线性规律运动变化的过程时采取的是一种近似替代法。近似替代法在现代科学中也是一种惯用的解决问题方法，如角度变化区间很小时，单摆的运动可近似应用线性运动规律描述。两种不同模型之间必然存在误差，有时误差可能非常大，会严重影响解决问题的准确度。
从日晷影长观察原理可知，日晷影长与表（测杆）长是直角三角形的两个直角边，可用三角函数中的正切函数来描述，其方程为：
L = L0tanθ                          （9）
或  L = L0tan（φ+ε）                   （10）
式中：L0为表（测杆）长，《周髀算经》记载为2米。
θ为投影角，即光线与表（测杆）构成的角度。投影角可以用θ=φ+ε表示。
φ为日晷观测点的地理纬度，当冬至日晷影长为3.3750米，夏至为0.40米，表长2米时，φ≈ 35.33°。
ε为黄赤交角，即地球自转产生的赤道面与地球公转产生的黄道面之间的夹角，黄赤交角最大值ε0为24.02°，目前黄赤交角最大值ε0为23°26′。ε用地球公转角ψ计算，ε=ε0 cosψ，ψ∈[0，2л]。
为了区别于周髀模型，我们把式（9）、（10）组成的计算方程定义为日晷模型。根据日晷模型可以计算出地球绕太阳公转一周所形成的日晷影长，日晷观测点的地理纬度和最大黄赤交角仍按《周髀算经》记载的冬至、夏至数值求得，如表二中的日晷影长2所示。
表二、用模型一二分别计算的日晷影长表

序号
节气
日晷影长1（米）
日晷影长2（米）
净影长1
净影长2
误差值（米）
误差比例 (%)
1
冬至
3.3750
3.3750
2.9750
2.9750
0.0000
0.00
2
小寒
3.1250
3.2677
2.7271
2.8677
-0.1427
-4.23
3
大寒
2.8775
2.9798
2.4792
2.5798
-0.1023
-3.03
4
立春
2.6300
2.5890
2.2313
2.1890
0.0410
1.21
5
雨水
2.3825
2.1704
1.9833
1.7704
0.2121
6.29
6
惊蛰
2.1350
1.7723
1.7354
1.3723
0.3627
10.75
7
春分
1.8875
1.4176
1.4875
1.0176
0.4699
13.92
8
清明
1.6375
1.1138
1.2396
0.7138
0.5237
15.52
9
谷雨
1.3900
0.8622
0.9917
0.4622
0.5278
15.64
10
立夏
1.1425
0.6632
0.7438
0.2632
0.4793
14.20
11
小满
0.8950
0.5183
0.4958
0.1183
0.3767
11.16
12
芒种
0.6475
0.4298
0.2479
0.0298
0.2177
6.45
13
夏至
0.4000
0.4000
0.0000
0.0000
0.0000
0.00
14
小暑
0.6475
0.4298
0.2479
2.8677
0.2177
6.45
15
大暑
0.8950
0.5183
0.4958
2.5798
0.3767
11.16
16
立秋
1.1425
0.6632
0.7438
2.1890
0.4793
14.20
17
处暑
1.3900
0.8622
0.9917
1.7704
0.5278
15.64
18
白露
1.6375
1.1138
1.2396
1.3723
0.5237
15.52
19
秋分
1.8875
1.4176
1.4875
1.0176
0.4699
13.92
20
寒露
2.1350
1.7723
1.7354
0.7138
0.3627
10.75
21
霜降
2.3825
2.1704
1.9833
0.4622
0.2121
6.29
22
立冬
2.6300
2.5890
2.2313
0.2632
0.0410
1.21
23
小雪
2.8775
2.9798
2.4792
0.1183
-0.1023
-3.03
24
大雪
3.1250
3.2677
2.7271
0.0298
-0.1427
-4.23
25
冬至
3.3750
3.3750
2.9750
0.0000
0.0000
0.00

 
根据日晷模型计算得到的日晷影长数值可以绘制出日晷影长雷达图，如图六、图七所示。
         
图六  日晷模型雷达图                 图七 日晷模型雷达图（净长）
从表二所列数据可以看出，用周髀模型与日晷模型计算出的日晷影长之间的误差是比较大的，最大误差超过了0.5米，误差比例也大于15%，这个比例远远大于数学模型建立标准。误差产生的主要原因一是因为周髀模型认为二十四个节气的日晷投影是按比例均匀分布的，二是日晷观测点的地理纬度偏离赤道时其春分和秋分的日晷投影不在变化区间的中间位置。也就是说，《周髀算经》所记载的日晷影长对应的不是节气而只是序列号，这是受当时人们对地球太阳相互运动规律以及空间几何投影概念认识的限制，从日晷模型也说明日晷影长的计算是一个复杂的天体运动规律探讨过程,尽管日晷模型具有了三角函数周期特性，但赤黄交角还忽略了地球绕太阳的轨道是椭圆形的而且地球位于其中的一个焦点上。因此《周髀算经》无法告诉我们“测正午日影”的真实现象，《周髀算经》所记载的数据也没能发挥更大的作用。
不过《周髀算经》中的“问次节损益寸数长短各几何？”、“凡为八节二十四气”却提示我们，古人一直在使用“节”“气”的概念。这就很大程度上帮助人们简化了解决实际问题的繁琐过程，不再追求了解事物发生运动变化的具体细节，而更注重于事物变化发展的趋势，把握住事物变化发展的几个关键部位即节点，逐步形成了用系统的、整体的逻辑思维方式处理事物的能力。图八为周髀模型与日晷模型两种雷达图的比较。
 
 
图八  周髀模型与日晷模型的雷达图比较
应用太极坐标系，我们可以绘制出由周髀模型和日晷模型计算得出日晷影长太极图，图八、图九所示的是两个模型的净长太极图。
         
图九  周髀模型太极图                  图十  日晷模型太极图
由上述分析可知，周髀模型与李氏模型一样，都是阿基米德螺线表现形式，可以近似表示出太极图中央的S形曲线，但它们不能满足周期性变化的特点，阿基米德螺线是无限发散的曲线。因此，周髀模型与李氏模型只能是貌似太极图而实质上确无法替代太极图模型。日晷模型虽然满足周期性变化的特点，由于视角运算的复杂性，只能认为它是太极图的一种特殊形式，还缺乏描述太极图普遍性质的特征，因为，太极图是非常简洁的图形。图十一反映的是在不同纬度观察时日晷模型获得的日晷影长用雷达图绘制的图形。
 
图十一  不同纬度日晷模型雷达图
4. 月相的太极图数理模型
作者在《月相的太极图演变规律探讨》一文对月亮的阴晴圆缺现象作了深层次的探讨，在充分认识到月光形成的机理后提出了月亮发光强度取决于月亮反射日光的面积。而月亮反光面积又随地、日、月三者相对位置的变化而改变。在假设地、日、月三者的运行轨道为理想的圆形情况下，将月亮的球形体表面近似地表述为与观察方向垂直的平面，并用象视面积S0来表示。反光的面积则是月亮反光球面在视平面上的投影面积，用S+来表示。月亮不反光的投影面积用S-来表示。按照月亮、地球和太阳三者所处的位置，用以月地和月日组成的夹角φ表示，从每月十五圆月开始，循凸月、下弦月、残月、朔月、峨嵋月、上弦月、凸月至望月变化，φ在0～2л区域变化，月相的太极图数理模型可用方程表示为：
S+= S0（1+cosφ）/2                （11）
S-= S0（1-cosφ）/2                （12）
S0 = S+ + S-                        （13）
应用太极坐标系，可以绘制出月相的反光面积所呈现出的太极图演变规律，如图十二所示。
 
图十二  月相模型太极图
我们把式（11）、（12）、（13）组成的计算方程定义为月相模型。月相模型中包含了（1+cosφ）/2和（1-cosφ）/2两个因子，分别定义为阳因子和阴因子，统称为太极因子。有关太极因子的性质，作者也已经在《太极图的数学模型探讨》中作了部分介绍，有关更多的特性有待进一步详细分析。由于用太极因子表现的数学模型具备了中国古代用文字描述的太极阴阳理论的所有特性，如周期变化、对立统一、阴阳消长、阴阳转化、阴阳极化、阴阳单调变化等特性，特将月相模型选定为太极图的理想模型。
 
5. 结语
李仕澂教授在《玻尔“并协原理”与〈八卦太极图〉》一文的结尾中说过“如果对一件事物的研究，归纳不出规律、没有科学的量的描定，则将永远停留在无端的臆测之中，是不可能有新的升华和发展的。” 作者通过汇集整理我国古代传承的文献，结合现代研究的成果，运用崭新的雷达图和太极坐标系概念，以独特的观察思维方式，对各个时期的各种太极图模型进行数学物理上的分析比较，归纳出线性与非线性、周期性与非周期性、近似性与精确性等多种模型，力图寻找一种能够科学描述太极图理论的数学模型，将中国传统文化提升到现代科学的范畴。
 
参考文献：
1．《太极图的数学模型探讨》《邵雍诞辰1000周年国际学术研讨会会议学术论文集》第96页至104页北京三式乾坤信息技术研究院2011年11月编印 
2．《月相的太极图演变规律探讨》《第14回世界易经大会暨第22届周易与现代化国际讨论会论文集》2011年9月出版
3．《太极坐标系》《邵雍诞辰1000周年国际学术研讨会会议学术论文集》第105页至110页北京三式乾坤信息技术研究院2011年11月编印 
4.《从日晷到太极两仪图的演变过程探秘》《中华周易文化杂志第三卷》第56页至66页中国周易发展研究院2012年5月编印
5．《玻尔“并协原理”与〈八卦太极图〉》作者李仕澂《周易研究》068-076页1994年第4期