“用洪伯阳《数论宝山上的明珠》一书有关“中国剩余定理”中解同余方程题来进行讨论：(原题例2照搬，例1为视察法解题，省略）

例2    解同余方程：103x≡57(mod211)                 （4）

解：显然（103，211）=1 故同余方程（4）有唯一解，但因211较大，不易用视察法求解，今介绍另一解法，为此，先定义一个记号。

若同余方程ax≡b(modm) 有唯一解则用记号x ≡ (modm)表之。用此记号后有两点性质可供在运算化简时应用，一个性质是可在的分子或分母上任意加、减m的一个倍数，另一个性质是可从分子、分母中约去与m互质的任一公因子。现在请看对例2的解法。

同余方程（4）显然可写为：

108X≡－57(mod211)

故用上面的记号与性质就有

即所求的解是x ≡－65(mod211)   为了节省篇幅，就不再举例了。”（原书到此为止）

就此题不管它是印刷错误还是有意错误，（103和108不可能相同而论）咱们就将错就错来讨论洪伯阳解同余方程获解问题：

观察103，57；108，57不可能等除以3而得，103，57并没有公约数，所以洪伯阳解同余方程的方法就不具有一般性。

现在用“剩余倍分法”来阐述此同余方程解法的一般性。（关于a,b=1或者a,b=－1的证法，数论书中均有,不在论证；这里主要论证a扩大多少倍除以b余1，或者少1问题）

一、 1.1先解同余方程：103x≡57(mod211) 用数学公式的形式，“剩余倍分法”可把同余方程     这就是剩余倍分法余1的具体阐述和性质，下面再来看看少1的阐述和性质。

     二 再解108 =－57(mod211)，用“剩余倍分法”解同余式时可以

三、再来讨论《数论宝山上的明珠》的同余方程组解法：

  我们知道，对一个未知联立同余方程组，以往求解用“孙子定理”，国际上称“中国剩余定理”。但“孙子定理”求解同余式组并不简单.

    ≡a₁(mod₁)                     

 ≡a₂(mod₂)                                                  

     ≡a (mod)                        

   式中 为整数，为两两互素的整数

对于摸

也就是数论中求乘率的方法。

洪伯阳推出求乘率的结论，与孙子定理等价。并没有实质性进步。至于另外推出解同余方程ax≡b(modm) 有唯一解则用记号x ≡ (modm)表之。用此记号后有两点性质可供在运算化简时应用，一个性质是可在的分子或分母上任意加、减m的一个倍数，另一个性质是可从分子、分母中约去与m互质的任一公因子，并不具有一般性。至于以上同余方程组求解，应由洪伯阳的三个辅助同余方程求解的方法，是最简化的方法，真是不干苟同。若求“开譆历上元积年377873x≡1(mod499067)的乘率”，能用洪伯阳解同余方程的方法解出乘率存有怀疑。剩余倍分法证明同余方程组若有解则先视察解数是否为1，或负1，或者扩大多少倍后解数是否为1，负1。

相信读者明白，这就是关于正，负余数（多几、少几）的整合问题的具体阐述，是简化孙子定理进一步的证明，充分说明“剩余倍分法”是浅显准确的。记得“剩余倍分法”重解中国剩余定理的论文中有这样的表述“负基础数不是真正意义上的负数，是把最小公倍数倍分后的剩余部分”，是基础数相对存在的两种情况，称负基础数。也就是处理余1、少1问题使用方法时需要注意，计算式中小括号内使用符号的问题。（负余数并非是负数，当然可以换算为正余数，只不过是不

完全商数多1、或者少1问题；剩余倍分法不需要换算可直接使用正，负余数，再大的正、负余数也可以）与“百度中国剩余定理词条”所阐述的理论并不矛盾。原题的答案为x=－65，是因为没有可靠计算工具和相对应的理论，关键问题是没有真正理解数论的理论和“剩余倍分法”在解同余方程组时正与负的关系，原同余方程本来就是非负方程，为何非要解出一个负数答案?

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