（空间）向量是研究（立体）几何问题的一种非常有效的工具.从向量的角度去看几何问题,往往会使问题简单化、具体化，且能把本来很抽象的问题（位置关系）转化为具体（代数运算）的问题.学习立体几何知识时，除了正方体外，正四面体也是一个值得关注的模型.下面我们用向量的方法来论证关于正四面体的两个重要结论.

　　结论1正四面体的四条高线相交于一点(中心),且该交点分每一条高线的比是3∶1.

　　图1

　　如图1,正四面体ABCD.作高线AH,垂足为H（H为正△BCD的中心）.在AH上取一点M1,满足|AM1|∶|M1H|=3∶1.设O是空间中的任一点.

　　因为OM1=OA+34AH

　　=OA+34(OH-OA)=14OA+34OH，又OH=13（OB+OC+OD+BH+CH+DH）=13(OB+OC+OD),所以OM1=14OA+34·13(OB+OC+OD)=14(OA+OB+OC+OD).

　　对于该四面体的其他高线,完全类似地取点M2,

　　M3,M4,则有OM2=OM3=OM4=14(OA+OB+OC+OD).所以M1,M2，M3，M4重合,称该重合点为该正

　　四面体的中心,显然中心分每一条高线的比是3∶1.

　　结论2正四面体的中心与各顶点的连线两两所成的角相等且为定值.

　　图2

　　如图2,正四面体DABC.设其棱长为a,中心为S，OD为高线,O为垂足,作轴Ox∥BC.

　　以O为原点，Ox,OA,OD分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,易求得

　　A0，33a,0,S0,0,612a,

　　D0,0,63a.

　　所以SA=0,33a,-612a,SD=0,0,64a.

　　故cos∠ASD=SA·SD|SA||SD|=-13.于是∠ASD=π-arccos13,为定值.

　　同理，∠ASB＝∠ASC=∠BSC=∠BSD=∠CSD

　　=π-arccos13.

　　巩 固 练 习

　　1. 正四面体ABCD的棱长为1,E,F分别为AD和BC中点,求异面直线AF和CE所成的角.

　　2. 正四面体ABCD的棱长为1,E为AD的中点.求CE与底面BCD所成的角.

　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容