周易集合论

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周易集合论
叶阳红
浙江 建德 311608
内容提要：本文通过引用康托尔创立的集合论对《周易》进行数学演绎，发现其具有现代科学意义上的集合的特征。周易中的卦名、卦符、卦序、卦辞、爻名、爻符、爻序、爻辞等等一系列描述卦象的名词、符号、词汇和语言都是周易集合当中的组合元素。而这些元素又可以按不同的特性、不同的规律组成一个个相应的子集。本文把所有反映周易的信息的集合称之为易集，并将其划分为卦集、爻集和传集三个主子集。卦集、爻集是表示六十四卦、三百八十四爻信息的集合，反映了周文王时期演绎的以乾卦为首的《周易》的完整系统。传集是表示易传十翼信息的集合，反映了孔子时期对《周易》注解的传文包括《彖》、《象》、《文言》、《系辞》、《说卦》、《序卦》、《杂卦》等内容。孔子从蓍草筮占“四营而成易，十有八变而成卦，八卦而小成”的过程中发现卦象可用或阴或阳的爻由下而上叠加而成的“一阴一阳之谓道”的规律，得出“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的推论，并用大小象的概念和八卦组合的方法来重新解释《周易》的卦象。而邵雍将《易传》“分阴分阳”的成卦规律逐步扩展为“一分为二，二分为四，四分为八，八分为十六，十六分为三十二，三十二分为六十四”，形成阴阳两种符号集合的不断直积的过程，由此获得了先天八卦次序图、先天六十四卦次序图和六十四卦方图，从而建立起周易的象数体系。周易集合论的成功演绎为中国传统文化与西方科学的有机结合创造了一个重要途径。
关键词：周易集合论易传成卦方法先天卦序
 
周易是周易，集合是集合，周易是古老的传统文化，集合是现代科学的概念，两者怎么能揉合到一起呢？
经过对周易内容的仔细观察分析，其实周易的结构形式隐含有集合的概念，如卦象、卦辞、卦名、卦符等等一系列描述周易的词汇和语言，都可以理解为是一个个包含不同信息的集合。简单地说，周易是一部研究“人天整体观”的著作，而“人天整体”恰恰就是现代意义上的集合，因为集合通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。下面就如何运用集合理论对周易这一古老文化进行现代科学的诠释做一个有益的尝试。
一、集合
1. 集合的概念
集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。如《周易·系辞上》所说的“书不尽言，言不尽意”一样，集合是一个只能描述而难以精确定义的概念。集合的一种描述：集合是指确定性质的对象的总体。集合简称集。组成集合的每一个对象叫做该集合的元素或简称元。
通常用大写字母A、B、X、Y…等表示集合，用小写字母a、b、x、y…等或阿拉伯数字表示元素。集合用花括号内列举所有元素的方法表示。如A={1，2，3，……，n} 表示所有自然数的集合。如B={a，b，c，……，z} 表示全体英文小写字母的集合。
元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。属于用∈表示，不属于用Э表示。如当n为无穷数时，所有自然数都属于集合A，记作n∈A。小写字母a、b不属于集合A，属于集合B，如R={a、b}时，记作RЭA，R∈B。
2. 集合的分类
依据构成集合的元素和对象的总体情况，集合可以分为以下种类：
（1）无限集：由无限个元素构成的集合。如一条直线上点的集合Y={x} 。
（2）有限集：由有限个元素构成的集合。如集合C={a，b，c，d} 。
（3）单元素集合：只有一个元素的集合。如Y={5} 。
（4）空集：不含任何元素的集合，记做 。空集也被认为是有限集合。
（5）数集：所有元素为数的集合。如N={1，2，3，……，64}表示从1到64的自然数的集合。
（6）子集：由集合中的部分元素组成的集合。如D∈B，D为集合B的子集。D包含于B或B包含D，记作D∈B或B∈D。任何集合是它本身的子集。
若B∈D互为子集，B∈D或D∈B，则称B∈D为等集。记作D= B。
若D为B的子集，且B中至少有一个元素不属于D，称D为B的真子集。子集、真子集都具有传递性。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”。
（7）全集：由对象的全体元素构成的集合。如B={a，b，c，……，z}为英文小写字母的全集。
（8）余（补）集：属于全集B不属于真子集C的元素组成的集合称为集合C的余（补）集。如E={e，f，g，……，z} 为对于全集B的子集C的余集。
3. 集合的运算
集合有三种基本运算，即并、交、差。
（1）并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x∣x∈A，或x∈B}
（2）交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x∣x∈A，且x∈B}
例如，全集U={1，2，3，4，5} ，A={1，3，5} ，B={1，2，5} 。那么因为A和B中都有1、5，所以A∩B={1，5} 。再来看看，它们两个中含有1、2、3、5这些个元素，不管多少，反正不是A有，就是B有，所以说A∪B={1，2，3，5}。
（3）差集：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集），记作A＼B（或B＼A），读作“A差B”（或“B差A”），即A＼B={x∣x∈A，但x不属于B}。
（4）余集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的余集或补集，记作CuA，即CuA={x∣x∈U，且x不属于A}。
例如，全集U={1，2，3，4，5} 而A={1，2，5} 那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的余集。即CuA={3，4}。通常把CuA又写成~A。
集合的并、交、余运算满足如下运算律：
交换律
    A∪B=B∪A
    A∩B=B∩A
结合律
    (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
    (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
分配律
    A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
    A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
对偶律
    Cu(A∪B)=CuA∩CuB
    Cu(A∩B)=CuA∪CuB
集合的直积（笛卡儿积）：
集合的直积是指两个集合之间的直积或笛卡儿积。设A、B是任意两个集合，则A与B的直积（笛卡儿积），记作A×B，是一个由所有可能的有序对(a，b)形成的集合，其中第一个元素是A的成员，第二个元素是B的成员。如{1，2}和{红，白}的直积为{(1，红)，(1，白)， (2，红)， (2，白)}。
4. 元素的性质
构成集合的元素主要有以下方面的性质：
（1）确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
（2）互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。
（3）无序性：构成集合的元素之间的排列顺序不影响组合的结果。如{a，b，c}与{c，b，a}是同一个集合。
（4）纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x∣x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。
（5）完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。
周易是一门研究“人天整体观”的学问，有关描述周易的所有内容可以构成周易全集，简称易集。易集由卦名、卦数、卦辞、卦符、爻名、爻辞等等组成。易集是由中国历代圣贤在人类生存繁衍过程中对自然、生活、社会现象通过长期的观察、记录、归纳、整理、分析、汇聚而成的智慧结晶，它是一套具有独特信息的哲学体系。若按照卦象的层次可以组成太极、两仪、四象、八卦、六十四卦等等子集。由于层次的的不同，集合的每项内容又可以形成自身的集合，如八卦卦名、六十四卦卦数等等。为了便于系统分析周易的集合特性，我们对各种集合的表示符号进行约定。
周易集合的符号约定：
（1）易集：描述周易的所有内容构成的周易全集，简称易集，记作ZY或Y。
（2）卦集：描述易卦的所有内容组成的易卦集合，简称卦集，记作GJ。
（3）卦名：由所有易卦的名称组成的集合，记作GM。
（4）卦符：由所有易卦的符号组成的集合，记作GF。
（5）卦数：由所有易卦的数组成的集合，记作GS。
（6）卦辞：由所有易卦的辞组成的集合，记作GC。
（7）卦彖：由所有易卦的彖组成的集合，记作GT。
（8）卦象：由所有易卦的象组成的集合，记作GX。
（9）爻集：描述卦爻的所有内容组成的卦爻集合，简称爻集，记作YJ。
（10）爻名：由所有卦爻的名称组成的集合，记作YM。
（11）爻符：由所有卦爻的符号组成的集合，记作YF。
（12）爻数：由所有卦爻的序数组成的集合，记作YS。
（13）爻辞：由所有卦爻的辞组成的集合，记作YC。
（14）爻象：由所有卦爻的象组成的集合，记作YX。
1. 易集  
《周易》是周文王从《易》演绎而来。自伏羲画卦形成《易》以来，《易》已经在中国这块土地上繁衍生化了数千年，它从最初的天文地理观测数据记录形式，描述事物按周期性规律变化发展现象，逐步向神秘的问灵卜筮形式过渡，形成了一套完整反映天地万物的信息预测系统。《易》在夏代被称之为《连山》，在商代被称之为《归藏》。从文献资料来看，各种形式《易》其卦序的先后次序、排列组合都不相同。《连山》以艮卦为首卦，《归藏》则以坤卦为首卦。在商周时期，周文王重新将易演绎为以乾卦为首的八八六十四个卦象和三百八十四个卦爻组合，称之为《周易》。周文王囚于羑里时，对六十四卦的卦序作了一定的编排，将六十四卦赋予特定的卦辞和爻辞，后来又经过周公的改编、加工，以至最后形成《周易》本经。不过《周易》原版信息资料早已不复存在，人们对《周易》的认知都是通过《易传》以及后来的《周易正义》等各种注本，还有各种考古发现来实现的。
易集，是所有构成周易的内容的集合。对于未经注解过的《周易》而言，其主要包括卦名、卦符、卦数、卦辞、爻名、爻辞等内容，卦数表示的是卦的排列序号，所以易集可表示为
    ZY={GM，GF，GS，GC，YM，YC}
通常上式表示的为全集。它包括了所有周易的信息，如六十四卦卦辞、三百八十四爻爻辞等等。易集也可以采用子集的方式表现，如用卦的名称组成的集合，可表示为
ZY={GM}
在分析研究问题时往往只需要某一卦或某一爻的信息，即只考虑易集当中的部分内容。如解卦六五爻，卦辞：“解，利西南。无所往，其来复吉；有攸往，夙吉。”爻辞：“君子维有解，吉。有孚于小人。”用易集表示为
    ZY={“解”，“解，利西南。无所往，其来复吉；有攸往，夙吉”，“六五爻”，“君子维有解，吉。有孚于小人。”}
或简单表示为
    ZY1={“解”，“解，利西南。无所往，其来复吉；有攸往，夙吉”}
    ZY2={“解”，“六五爻”，“君子维有解，吉。有孚于小人。”}
ZY1表示解卦卦辞即GC，ZY2表示解卦六五爻爻辞即YC。易集可以用较小的子集来体现。为此，我们引入了卦集和爻集的概念。
2. 卦集
我们把所有反映易卦的信息的集合称之为卦集。卦集是易集的真子集，凡是卦集中包含的内容都应包括在易集之中。易卦的信息主要包括卦名、卦符、卦数、卦辞、爻名、爻辞等内容，这也构成了卦集
    GJ={GM，GF，GS，GC，YM，YC}
其形式与易集没有什么差异，但内容上易集包含有易卦之外的信息，卦集更注重于易卦特定信息的表述。
① GM为卦名，是所有易卦的名称组成的集合。自伏羲画卦形成《易》以来，经过夏、商各时期的演变，到了周初其基本结构已经完备。周易共有六十四卦，每个卦都有相应的名称，六十四个卦的名称组合在一起称之为卦名。根据资料，卦名可表示为
    GM={乾，坤，屯，蒙，需，讼，师，比，小畜，履，泰，否，同人，大有，谦，豫，随，蛊，临，观，噬嗑，贲，剥，复，无妄，大畜，颐，大过，坎，离，咸，恒，遁，大壮，晋，明夷，家人，睽，蹇，解，损，益，夬，姤，萃，升，困，井，革，鼎，震，艮，渐，归妹，丰，旅，巽，兑，涣，节，中孚，小过，既济，未济}
以上是六十四卦卦名全集。卦名有时也可以用某一卦或部分卦的名称表示，如
    GM1={乾}
    GM2={乾，坤，艮，兑，坎，离，震，巽}
    GM3={损，益}
显然，GM1、GM2、GM3都是全集GM的子集，即GM1∈GM，GM2∈GM，GM3∈GM。六十四卦中的每一卦都是卦名的子集。
② GF为卦符，是所有卦的符号组成的集合。周易共有六十四卦，每个卦都有相应的符号，六十四个卦的符号组合在一起称之为卦符。根据资料，卦符可表示为
以上是六十四卦卦符全集。卦符有时也可以用某一卦或部分卦的符号表示，如
 
同样，GF1、GF2、GF3都是卦符GF的子集，而GF1是GF2的子集，即GF1∈GF2∈GF，GF3∈GF。
③ GS为卦数，是所有易卦的序数组成的集合。《周易》是以乾卦为首卦的排列次序，它有别于以艮卦为首卦的《连山》和以坤卦为首卦的《归藏》。《周易》乾卦之后的易卦是如何排列的这一问题在相关书籍中都没有具体说明。
《易传·序卦》是专门论述《周易》本经卦序并揭示卦象前后相承关系的传文。在语言形式上，以“必有所…，故受之以…”和“物不可以终…，故受之以…”的基本句式，来表现易卦传承方式；在释卦的内容上，先论天地自然之道，后论社会人文之理，最后用既济、未济作为结尾，似以推天道而论人事之法，借助卦象的运变趋势，展示社会发展、人类进步的形象。
由于集合有一个非常重要的性质是无序性，即构成集合的元素之间的排列顺序不影响组合的结果，无论易卦前后次序如何都不会对卦集产生影响，所以《连山》、《归藏》还有《周易》虽然易卦的排序不同，也不会改变预测体系效果。只有在宋代当邵雍发现了先天卦序之后卦数与卦象才建立一一对应的关系，这有待于进一步探讨。此处暂且用卦名的先后序列表示，如乾卦的卦数为一，即
    GS={一}
④ GC为卦辞，是所有易卦的辞句组成的集合。每一个卦的卦辞是一段用文字叙述的词句。卦辞是周易的核心内容，由周文王整理完成，形成六十四组完全不同的信息。从其内容推测，卦辞大多是古人对自然、生活、社会活动现象的记录。如六十四卦乾卦卦辞为
    GC={“乾，元亨利贞”}
对于周易六十四卦而言，卦名、卦符、卦数与卦辞都是相互具有一一对应的关系，它们可以各自组成单一的集合，又可以形成统一的卦集。无论是卦的名称、卦的符号、卦的序数还是卦的辞句是如何的不同，它们独自的集合都是等价的。这是集合的对应原则。如周易的首卦为乾，卦名GM={乾}，卦符GF={ }，卦数GS={一}，卦辞GC={“乾，元亨利贞”}，各个集合是等价的，它们表征着相同的信息，即
    GJ={乾}
    GJ={ }
    GJ={一}
    GJ={“乾，元亨利贞”}
也可将它们组合在一起构成卦集
    GJ={乾， ，一，“乾，元亨利贞”}
由于年代久远，古人又没有文字记载和说明，到底是名称定义卦辞还是卦辞解释名称、符号象征数字还是数字表示符号，是一个深藏不漏的谜底。要说明这种现象我们可以借鉴西方发现构成物质的基本元素的过程。
西方科学家在化学实验当中发现了构成物质的基本元素，依据元素的性质门捷列夫在1869年将各种元素排列成元素周期表，针对不同性质的元素，人们给它们起了不同的名称，并用不同的化学符号表示。而元素的性质取决于它的核内质子数，由此产生了原子序数的概念。通过元素周期表可以发现，元素的性质决定了元素在表中的位置，对应着元素名称、元素符号和原子序数。而当时有许多元素仍未被发现，所以元素周期表的某些位置是空的。后来，西方科学家参照空缺位置的元素性质逐渐找到了相应的元素，形成了目前较为完整的元素周期表。元素周期表实质上是反映了元素的性质。而元素的性质最终决定了该元素与其它元素之间的相互作用的关系。
周文王整理卦辞、爻辞也不外乎是一个对易集信息补充、完善的过程。由于易卦由六爻组成，每个爻有各自的爻名、爻辞，也是卦集的一部分，但每个卦的爻名、爻辞具有丰富的信息和严谨的哲理，因此，卦爻的信息可以形成独自的系统。
3. 爻集
我们把所有反映卦爻的信息的集合称之为爻集。爻集是卦集的真子集，同时也是易集的真子集。爻集的主要内容包括爻名、爻辞，可表示为
YJ={ YM，YC}
① YM为爻名，是所有卦爻的名称组成的集合。如泰卦的爻名
YM={初九，九二，九三，六四，六五，上六}。
易卦由六爻组成，卦爻的名称有六个数组。爻名虽然只有六个数组，却包含了许多内容。首先是爻数的概念。爻数是对每个易卦的六个爻先后次序的定义。按照由下而上的命名规则把六爻定义为一爻，二爻，三爻，四爻，五爻，六爻。其次是爻符的概念。爻符是对每个易卦的六个爻出现的符号的命名。
② YS为爻数，是所有卦爻的序数组成的集合。因为爻数的命名规则是固定的，每个易卦的爻数为
    YS={一，二，三，四，五，六}
实际应用中又把一爻叫做初爻，把六爻叫做上爻，避免六爻的六与爻符的六相重复，即
   YS={初，二，三，四，五，上}。
③ YF为爻符，是所有卦爻的符号组成的集合。爻符有两种表示方法，一是数字，二是符号。数字爻符为“六”与“九”，对应的符号为“ ”与“ ”，读作阴与阳。如泰卦的爻符为
    YF={ ， ， ， ， ， }
当确定了易卦的爻数之后，爻符也相应确定，一个易卦六爻的集合组成了卦符。如泰卦爻符从第一爻开始由下而上依次叠加组成了泰卦卦符 GF={}。
④ YC为爻辞，是所有卦爻的辞句组成的集合。每一个爻的爻辞是一段用文字叙述的词句。爻辞的内容大致有三类：一是讲自然现象的变化，用来比拟人事；二是讲人事的得失；三是判断吉凶的辞句。如泰卦的爻辞为
    YC1={“拔茅茹，以其汇，征吉”}
    YC2={“包荒，用冯河，不遐遗，朋亡，得尚于中行”}
    YC3={“无平不陂，无往不复。艰贞无咎，勿恤其孚，于食有福”}
    YC4={“翩翩，不富以其邻。不戒以孚”}
    YC5={“帝乙归妹，以祉元吉”}
    YC6={“城复于隍。勿用师，自邑告命，贞吝”}
将上述六爻爻辞集合成
    YC={“拔茅茹，以其汇，征吉”，“包荒，用冯河，不遐遗，朋亡，得尚于中行”，“无平不陂，无往不复。艰贞无咎，勿恤其孚，于食有福”，“翩翩，不富以其邻。不戒以孚”，“帝乙归妹，以祉元吉”，“城复于隍。勿用师，自邑告命，贞吝”}
对于同一个易卦，其爻名与爻辞也具有一一对应关系，如泰卦的爻辞与爻名可对应如下
YJ={初九}
YJ={“拔茅茹，以其汇，征吉”}
上述是以单一的内容表示的爻集，也可以用两者同时表示
YJ={初九，“拔茅茹，以其汇，征吉”}
周易六十四卦共有三百八十四爻，所以易卦爻名和爻辞各有三百八十四组信息。单从爻集中不容易判断其信息有什么作用，必须与易卦的卦名、卦符等相结合才能正确理解。
4. 周易集合应用
依据周文王、周公编排、加工的六十四卦卦辞和三百八十四爻爻辞，可以确定周易本经的信息集合。在当今电子计算机时代，这些信息只是很少的字节可存储在非常小的数据库之中。但在纸张还没有发明的古代，要记载这些信息是非常困难的，卦名、卦符、卦数、卦辞、爻名、爻辞等内容构成了一个庞大的信息系统，这也是少数人才能掌握的一种技艺。以下是用卦名和卦符组合的集合
 
 
古人逢大事必向神灵卜问吉凶，其方法大体有两种方式，一种是龟卜，一种是筮占。龟卜就是用龟甲或兽骨进行占卜。其方法是先在龟甲或兽骨上钻孔，然后以火灼之，依据龟甲或兽骨上呈现的断裂纹路判断凶吉。应该说此种裂纹图形是卦爻的雏形。筮占就是用蓍草占卜，其方法是用蓍草的茎若干策，多次拆分，得到多组数字，确定卦爻的阴阳及变动情况，通过一一对应的关系从易集中获取相应卦集的信息，判断凶吉。如得到卦符为GF={}、变动之爻数为YS={初}，相应卦集的信息如下：
    GJ={泰，，初九，“拔茅茹，以其汇，征吉”}
如果没有出现变动之爻数，相应卦集的信息应该为卦辞。如泰卦：
    GJ={泰， ，“小往大来，吉亨”}
依据相应的卦辞、爻辞可推测所问事情的结果。为了让易集、卦集能够直观简捷反映出它们所包含的信息，采用带参数的集合形式。如动爻为初爻的泰卦卦集可用其卦名或卦符作为参数进行表示
    GJ（泰）={初九，“拔茅茹，以其汇，征吉”}
或
    GJ（）={初九，“拔茅茹，以其汇，征吉”}
当六爻都不变动时，可表示为
    GJ（泰）={“小往大来，吉亨”}
或
    GJ（）={“小往大来，吉亨”}
《易传》又称十翼，即《彖》上下、《象》上下、《文言》、《系辞》上下、《说卦》、《序卦》、《杂卦》十部分内容。从汉代开始部分学者认为《易传》是孔子所作，如司马迁在《史记·孔子世家》中就有“孔子晚而喜《易》，序《彖》、《系》、《象》、《说卦》、《文言》。读《易》韦编三绝”的记载。大量的历史资料表明，《易传》是春秋战国时期对《周易》研究逐渐形成的一些系统阐释的文字汇集而成的传文。不过，《易传》作为最早的释易总集，始终贯穿着孔子的哲学思想。《易传》对《周易》主要起到了以下方面的作用：
卦《彖》以六爻的整体形象即卦象断定大义，是卦辞的注解和补充。《彖》与《周易》内容对应分上下传。每个卦都有一条彖的词句，共有六十四条。
卦《象》分上下传，也可用大象与小象区分。一个六爻的卦可以分成下三爻和上三爻两部分，即卦象由下卦和上卦组成。《象》比较下上两卦的相互关系是对卦辞和爻辞的注解。
《文言》对易的门户乾、坤两卦进行了特别说明。
《系辞》提出了“一阴一阳之谓道”等许多纲领性的光辉思想，形成了易经的整体概论。
《说卦》对八卦对应的各种系统进行分类解说。
《序卦》是论述卦序和揭示其关系的传文。
《杂卦》用朴素的对立统一观点把六十四卦分成三十二对。
其实《易传》最大的作用是通过对《周易》的注释，将六十四卦三百八十四爻的信息完整地系统地保存了下来，同时又在解释卦象的方法上增加了阴阳刚柔方面的信息，大大丰富了易集的内容。
1. 《易传》集合
由于《周易》原版资料不存在，人们通过《易传》以及后来的各种注本才认识《周易》，《易传》与《周易》一起形成了《易经》，所以《易传》的传文内容是《周易》的扩展和补充。《易传》的集合简称为传集，用ZJ表示，ZJ是十翼的全集，即
    ZJ=｛彖（上下），象（上下），文言，系辞（上下），说卦，序卦，杂卦｝
传集包含于易集之中，所以有
ZY={GJ，YJ，ZJ}
即易集由卦集、爻集和传集组成。而传集ZJ中与卦集、爻集相对应的信息只有卦彖、卦象和爻象。
GT为卦彖，是所有易卦的彖组成的集合。每个卦的彖都是卦彖子集。如大有之卦彖
        GT（大有）={“大有，柔得尊位大中，而上下应之曰大有。共德刚健而文明，应乎天而时行，是以元亨”}
    GX为卦象，是所有易卦的象组成的集合。如大有之卦象
        GX（大有）={“为在天上，大有。君子以遏恶扬善”}
YX为爻象，是所有卦爻的象组成的集合。如大有之爻象
    YX（大有）={“大有初九，无交害也”，“大车以载，积中不败也”，“公用亨于天子，小人害也”，“匪其彭，无咎”，“厥孚交加，信以发志也。威如之吉，易而无备也”，“大有之吉，自天祐”}
大有卦的传集为
    ZJ（大有）={GT（大有），GX（大有），YX（大有）}
《序卦》对卦序的论述及卦象前后关系的揭示便成了《周易》卦序的的依据。《序卦》按自然发生的逻辑和因果关系，说明了六十四卦的排列顺序，由这个卦序组成了易卦的卦数GS。
2. 成卦方法
筮占是古代成卦的方法之一。《系辞》对采用蓍草筮占进行了详细的描述：“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇於抟以象闰，故再抟而后挂。……是故，四营而成易，十有八变而成卦，八卦而小成。”占卜时选五十根蓍草用其中的四十九根，经过“分”、“挂”、“揲”、“归奇”这“四营”即四个步骤而成易，一易为一变，三变成一爻，一卦六爻，“十有八变”而成卦。这种方法虽然比较繁琐，比起龟卜来还是简便得多。龟卜是用火灼被钻孔的龟甲或兽骨使其脆裂而呈现卦象的另一种成卦方法。
与上述不同的是，《系辞》提出了推出了一套崭新的成卦方法，一套建立在“一阴一阳之谓道”思想体系之上的成卦方法。
大家知道，道是老子在《道德经》中定义的用来表述宇宙的本原物质及其变化规律的概念。老子通过《道德经》第四十章“天下万物生于有，有生于无”和第四十章“道生一，一生二，二生三，三生万物”的叙述，对无与有两种形态以及无有相生现象的观察分析来揭示出道的各种特性。同时也提出了“万物负阴而抱阳，冲气以为和”的阴阳概念，但未给予明确的解释。
而《系辞》将道和阴阳的概念引入到了《周易》之中，把爻符“”与“”直接与阴、阳概念相对应，运用卦爻变化引起卦象转化的原理来说明成卦过程，并把用阴阳变化形成卦象的规律称之为道，概括为“一阴一阳之谓道”。也就是说，一个观察系统的内部始终存在着阴阳两种特性，阴阳既对立又统一，可以相互作用和相互转换，产生不同的象，由于内部作用循环反复，得到的象也层出不穷。针对这一过程，《系辞》用“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”来描述。太极、两仪、四象、八卦分别表示系统所处的各个层次的卦象。卦象是观察的结果，当系统无法被观察或观察不到系统的卦象时，该系统就是处在老子所描述的无的状态。
如果太极开始处于无的状态用空集表示，那么产生卦象的过程是系统内部阴阳作用的结果，每个层次的卦符GF（太极）、GF（两仪）、GF（四象）、GF（八卦）则为各层次的卦符与阴阳符的直积（笛卡儿积）
GF（太极）=
GF（两仪）= GF（太极）×{，}
={(  ，)，(  ，)}
={，}
GF（四象）= GF（两仪）×{，}
={，}×{，}
={(，)，(，)，(，)，(，)}
GF（八卦）= GF（四象）×{，}
={(，)，(，)，(，)，(，)}
×{，}
={(，，)，(，，)，
(，，)，(，，)，
(，，)，(，，)，
(，，)，(，，)}
如果将小括号内横排的符号仍然用集合的方式表现，并转变成竖立的卦符，上述卦象可卦符表示
GF（两仪）= {，}
GF（四象）= {，，，}
GF（八卦）= {，，，，，，，}
将GF（太极）、GF（两仪）、GF（四象）、GF（八卦）的卦符用层次结构的形式表示就可以获得八卦衍生图
上图反映出“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的描述，但与卦符集合的直积表现形式相比，明显省略了系统内部阴阳作用的过程，而集合理论可以完整地表述出来。
当一个观察系统的阴阳特性与两仪层次的卦象完全吻合时，系统各层次的卦符都可以表示成其它层次卦符的直积，如
    GF（四象）= GF（两仪）×GF（两仪）
    GF（八卦）= GF（四象）×GF（两仪）
              = GF（两仪）×GF（两仪）×GF（两仪）
显然，两个八卦卦符的直积可以得出六十四卦卦符，两个六十四卦卦符的直积可以得出四千零九十六卦卦符，由此类推，观察系统经过无数次的阴阳演变可以得出无穷多卦层次的卦符。焦延寿在《易林》中就提出过四千零九十六卦卦象的有关论述。因同一层次的卦象过多时所涉及的信息也就繁杂，实际应用过程中超过六十四卦之后的卦象难以被后人所接受。
六十四卦卦象在《周易》中又称别卦，用八卦卦符集合的直积可表示为
    GF（六十四卦）= GF（八卦）×GF（八卦）
将GF（八卦）=  {，，，，，，，}代入上式，有
    GF（六十四卦）=  {，，，，，，，}
     × {，，，，，，，}
     ={（，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，），
    （，），（，），（，），（，）}
同样将每个小括号内的卦符用叠加的方法组成一个卦象，前面的卦符为下卦，后面的卦符为上卦，也即一个六爻的六十四卦可以用两个三爻的八卦组成。如果六爻的卦象为大象，三爻的卦为小象，于是大小象概念便相应产生。这就是为什么《易传》用大小《象》来解释《周易》的原因。卦符的直积也可以用卦名来表示，如GF={（，）}用卦名表示为GM={（巽，震）}，下卦巽与上卦震两者组合形成一个六十四卦的恒卦。易集中则为ZY={恒}。对于恒卦，与大多易学书籍一样，郭扬在《易经求正解》中就采用“巽下震上，恒卦”方式来注解。
观察系统的卦象可以通过系统阴阳特性的相互作用来形成，这种方法既简单又实用。《系辞》把阴阳特性的相互作用归纳为“成之者性也”，把遵循“一阴一阳”规律的成卦过程称之为“生生之谓易”。
3. 八卦卦象
六爻卦可以用三爻卦组成，大象可以用小象解释，这是《易传》对《周易》的一大突破。《易传》“一阴一阳之谓道”思想体系大大简化了人们运用《周易》卦象信息对观察系统进行观察、分析、判断和推测事物未来发展的变化趋势的过程。一个六十四卦卦象信息的集合可以用两个八卦卦象信息的集合的直积组成，因此，如何组成三爻卦卦象信息是《易传》要着重解决的问题。除了用阴阳特性生成之外，《易传》借助于圣人的直接观察而成象的方法：“古者包羲氏之王天下也，仰则观象於天，俯则观法於地，观鸟兽之文，与地之宜，近取诸身，远取诸物，於是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”《说卦》根据天地万物的各种特性建立起不同观察系统的八卦卦象。从《说卦》第三章开始通过仰观、俯观、近取、远取，将天地万物按表现的德情（即特性）进行分类并汇集至八个卦象之中。
（1）自然现象的集合
第三章对自然现象的各种形态进行分类：“天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射，八卦相错。”列出了八种主要的形态构成自然现象的集合
      GJ={天，地，山，泽，雷，风，水，火}
（2）运动状态的集合
第四章是从八种主要的形态着手观察其运动状态并进行分类：“雷以动之，风以散之，雨以润之，日以烜之，艮以止之，兑以说之，乾以君之，坤以藏之。”形成自然现象发生运动变化状态的集合
    GJ={动，散，润，烜，止，说，君，藏}
    GJ={雷，风，雨，日，艮，兑，乾，坤}
（3）所处方位的集合
第五章从事物自然演变的现象分析，指出了每种现象所处的方位：“帝出乎震，齐乎巽，相见乎离，致役乎坤，说言乎兑，战乎乾，劳乎坎，成言乎艮。万物出乎震，震东方也。齐乎巽，巽东南也，齐也者，言万物之洁齐也。离也者，明也，万物皆相见，南方之卦也，圣人南面而听天下，向明而治，盖取诸此也。坤也者地也，万物皆致养焉，故曰致役乎坤。兑正秋也，万物之所说也，故曰说；言乎兑。战乎乾，乾西北之卦也，言阴阳相薄也。坎者水也，正北方之卦也，劳卦也，万物之所归也，故曰劳乎坎。艮东北之卦也，万物之所成，终而所成始也，故曰成言乎艮。”形成与自然现象相对应的八个方位的集合
    GJ={东，东南，南，西南，西，西北，北，东北}
    GJ={震，巽，离，坤，兑，乾，坎，艮}
（4）事物特性的集合
第六章从事物的表现行为上进行分类：“神也者，妙万物而为言者也。动万物者，莫疾乎雷；桡万物者，莫疾乎风；燥万物者，莫燥乎火；说万物者，莫说乎泽；润万物者，莫润乎水；终万物始万物者，莫盛乎艮。故水火相逮，雷风不相悖，山泽通气，然后能变化，既成万物也。” 形成事物特性（未说明天地）的集合
    GJ={动，桡，燥，说，润，盛}
    GJ={雷，风，火，泽，水，山}
（5）形态特征的集合
第七章从表象的形态特征上进行分类：“乾，健也；坤，顺也；震，动也；巽，入也；坎，陷也；离，丽也；艮，止也；兑，说也。”形成表象的八种特征的集合
    GJ={健，顺，动，入，陷，丽，止，说}
    GJ={乾，坤，震，巽，坎，离，艮，兑}
（6）动物类形的集合
第八章按各种动物的类形进行分类：“乾为马，坤为牛，震为龙，巽为鸡，坎为豕，离为雉，艮为狗，兑为羊。”形成八个动物种类的集合
    GJ={马，牛，龙，鸡，豕，雉，狗，羊}
    GJ={乾，坤，震，巽，坎，离，艮，兑}
（7）身体部位的集合
第九章对动物全身的各个部位进行分类：“乾为首，坤为腹，震为足，巽为股，坎为耳，离为目，艮为手，兑为口。”形成身体各部位的集合
    GJ={首，腹，足，股，耳，目，手，口}
    GJ={乾，坤，震，巽，坎，离，艮，兑}
（8）家庭成员的集合
第十章对家庭中的各个成员进行分类：“乾天也，故称父，坤地也，故称母；震一索而得男，故谓之长男；巽一索而得女，故谓之长女；坎再索而男，故谓之中男；离再索而得女，故谓之中女；艮三索而得男，故谓之少男；兑三索而得女，故谓之少女。”形成组成家庭各成员的集合
    GJ={父，母，长男，长女，中男，中女，少男，少女}
    GJ={乾，坤，震，巽，坎，离，艮，兑}
（9）八卦子集
从第三章至十章，是根据观察系统的特点按类别、形状、状态、部位、方位、家庭成员、特性等现象将系统信息分成八种类型分别与八个卦象相对应。第十一章则将所有与卦象相对应的信息进行归类扩展，形成每个卦象的子集：
“乾为天、为圜、为君、为父、为玉、为金、为寒、为冰、为大赤、为良马、为老马、为瘠马、为驳马、为木果。”
“坤为地、为母、为布、为釜、为吝啬、为均、为子母牛、为大舆、为文、为众、为柄、其於地也为黑。”
“震为雷、为龙、为玄黄、为敷、为大涂、为长子、为决躁、为苍筤竹、为萑苇。其於马也，为善鸣、为馵足、为作足、为的颡。其於稼也，为反生。其究为健，为蕃鲜。”
“巽为木、为风、为长女、为绳直、为工、为白、为长、为高、为进退、为不果、为臭。其於人也，为寡发、为广颡、为多白眼、为近利市三倍。其究为躁卦。”
“坎为水、为沟渎、为隐伏、为矫輮、为弓轮。其於人也，为加忧、为心病、为耳痛、为血卦、为赤。其於马也，为美脊、为亟心、为下首、为薄蹄、为曳。其於舆也，为丁躜（多眚）、为通、为月、为盗。其於木也，为坚多心。”
“离为火、为日、为电、为中女、为甲胄、为戈兵。其於人也，为大腹，为干卦。为鳖、为蟹、为蠃、为蚌、为龟。其於木也，为科上槁。”
“艮为山、为径路、为小石、为门阙、为果苽、为阍寺、为指、为狗、为鼠、为黔喙之属。其於木也，为坚多节。”
“兑为泽、为少女、为巫、为口舌、为毁折、为附决。其於地也，刚卤。为妾、为羊。”
形成八卦信息的子集
GJ（乾）={乾，天，圜，君，父，玉，金，寒，冰，大赤，良马，老马，瘠马，驳马，木果}
GJ（坤）={坤，地，母，布，釜，吝啬，均，子母牛，大舆，文，众，柄，黑}
GJ（震）={震，雷，龙，玄黄，敷，大涂，长子，决躁，苍筤竹，萑苇，善鸣，馵足，作足，的颡，反生，蕃鲜}
GJ（巽）={巽，木，风，长女，绳直，工，白，长，高，进退，不果，臭，寡发，广颡，多白眼，近利市三倍，躁}
GJ（坎）={坎，水，沟渎，隐伏，矫輮，弓轮，加忧，心病，耳痛，血卦，赤，美脊，亟心，下首，薄蹄，曳，丁躜，通，月，盗，坚多心}
GJ（离）={离，火，日，电，中女，甲胄，戈兵，大腹，鳖，蟹，蠃，蚌，龟，科上槁}
GJ（艮）={艮，山，径路，小石，门阙，果苽，阍寺，指，狗，鼠，黔喙之属，坚多节}
GJ（兑）={兑，泽，少女，巫，口舌，毁折，附决，刚卤，妾，羊}
通过对系统的观察分析归类，几乎可以将天地万物所有的信息都集合到八卦系统中，再由八卦之间的相互组合形成庞大的信息系统。因而有《系辞》的“范围天地之化而不过，曲成万物而不遗”之说。
从集合的特性可知，组成卦集的卦象的前后次序即卦序的不同不会影响卦集的信息。所以无论是以艮卦为首的《连山》，还是以坤卦为首的《归藏》，以及以乾卦为首《周易》都不会影响问灵卜筮的效果。卜筮是通过卦辞或爻辞来判断、推测系统运动变化趋势的，《易传》则更多的从组成六爻卦的三爻卦的卦象去分析、判断和推测系统可能发生的现象。虽然没有对六十四个卦象的先后排列次序进行变换，但它采用了“一阴一阳”的“生生之谓易”的成卦方法，将六爻卦看作是三爻卦的重卦，用三爻卦的小象去解释六爻卦的大象，又对三爻卦的卦象信息进行了较为全面的分类标识如空间、方位、形态等等，因此，多多少少给后续研究工作带来影响，更何况《连山》、《归藏》、《周易》原本也蕴藏着反映时代气息如生产方法、社会关系、自然环境等特征。下面着重从卦序的角度对卦集进行分析讨论。
1. 《易传》之卦序
《易传》中的《序卦》是专门对卦序进行论述传文，详细的叙述了《周易》卦象前后次序的排列关系和形成的原因。不过，当《易传》采用下卦和上卦形式的重卦之后，对三爻的八卦在《说卦》中进行系统性的表述。
首先，从《周易》卦名可知《易传》三爻卦的卦名应该来自六爻卦，八个卦名恰好是六十四卦中下卦与上卦卦象相同的卦，这八个卦就是
ZY={乾，坤，坎，离，震，艮，巽，兑}
八卦卦名与六十四卦卦名相同为
GM={乾，坤，坎，离，震，艮，巽，兑}
所以，卦象的排序也是与六十四卦中的次序相同。
其次，是按照观察系统的特性进行排列，如八卦相错的次序、空间方位的次序等等，使用较为普遍的一种是如按家庭成员的关系排列的次序，其卦名为
GM={乾，坤，震，巽，坎，离，艮，兑}
与此对应的八卦卦符为
GF= {，，，，，，，}
2. 帛书《易经》之卦序
1973年湖南长沙马王堆三号汉墓出土帛书《易经》，抄写于汉文帝初年，与传世各家《易经》版本均不同，是现存《周易》中最早的别本。帛书《易经》从其经文和传文来看，卦名卦辞中的字也多有出入，文字段落互有差异，而且卦序与通行本卦序完全不一样。
帛书《易经》八卦的次序为键（乾）、根（艮）、赣（坎）、辰（震）、川（坤）、夺（兑）、罗（离）、筭（巽），即上卦卦符为
GF1={，，，，，，，}
下卦则采用另一种排序，其卦符为
GF2={，，，，，，，}
帛书《周易》是三爻八卦的重卦，六十四卦可由下卦和上卦的卦符集合的直积得到：
GF（帛书）={，，，，，，，}
             ×{，，，，，，，}
如上卦为键（乾）时依次排列的八个卦为健（乾）、妇（否）、椽（遁）、礼（履）、讼、同人、无孟（无妄）、狗（姤）。用易集表示为
ZY（帛书）={乾，否，遁，履，讼，同人，
无妄，姤}
3. 邵雍先天之卦序
邵雍在《皇极经世》中根据《系辞》“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的“生生之谓易”的成卦规律对卦象按“分阴分阳，迭用刚柔”进行逐步扩展，产生了“太极之分解，犹干之有枝，枝之有叶。愈大则愈少，愈细则愈繁，全之斯为一，衍之斯为万”的思想，提出了“一分为二，二分为四，四分为八，八分为十六，十六分为三十二，三十二分为六十四”的成卦方法。用这一方法可以获得观察系统各层次之间的卦象，可用卦符集合的直积表示如下
因为后一层次的卦象个数比前一层次多一倍，这种成卦方法被程颐称之为“加一倍法”，其实较为妥切的命名应该称之为“分阴分阳”法，后一层次的卦象是前一层次的卦象继续阴阳分化后形成的。
邵雍运用“分阴分阳”法得到了观察系统各层次的卦象，同时也发现每个层次的卦象具有一种新的排序规律，即易卦卦爻随时间或空间的阴阳变化而变化，反映出系统原始状态的卦象的次序。邵雍将按照阴阳变化规律形成的卦序命名为先天卦序或伏羲卦序。相应的八卦为先天八卦或伏羲八卦，相应六十四卦为先天六十四卦或伏羲六十四卦。
先天八卦的卦名为
GM（八卦）={乾，兑，离，震，巽，坎，艮，坤}
其卦符为
GF（八卦）= {，，，，，，，}
由于先天卦象具有按时间或空间变化的关系，与自然运动随时间变化现象相一致，邵雍将这一种序列用自然序数表示。如先天八卦的卦数为乾一兑二离三震四巽五坎六艮七坤八，用集合表示为
GS（八卦）= {一，二，三，四，五，六，七，八}
可用阿拉伯数字表示
GS（八卦）= {1，2，3，4，5，6，7，8}
依据上述信息，可以用表格形式反映出先天八卦的形成过程及卦象的排列次序。
先天八卦次序表
 
同样，先天六十卦也可用自然序数表示，其易集如下
依据上述信息，可以用表格形式反映出先天六十四八卦的形成过程及卦象的排列次序。
先天六十四卦次序表
 
 
显然，这两张表与朱熹在《周易本义》中提供的邵雍的《先天八卦次序图》和《先天六十四卦次序图》有着明显的差异，上表的卦序是自左向右排列，而邵雍的先天图则是自右向左。其实这种差异是中国古代文化与现代文化之间的差异。在西文传入中国之前，汉字文本都是按照自上而下、自右而左的顺序习惯书写。
依据集合直积的特性，先天六十四卦卦符也可表示成两个先天八卦卦符的直积
    GF（六十四卦）= GF（八卦）×GF（八卦）
                  = {，，，，，，，}
                  ×{，，，，，，，}
卦符直积的结果可以用先天六十四卦方图表示
先天六十四卦方图
 
    先天六十四卦方图也是按现代的书写习惯制作的，与邵雍的方图同样存在着排序方向的问题。
邵雍的先天六十四卦方图也是依据成卦的方式由下而上再按照自右向左进行书写而成的。而邵雍先天图传入欧洲后很快被莱布尼茨意识到其卦符具有二进制特性，莱布尼茨按邵雍先天图的次序用他发明的0和1两种二进制符号分别与“”和“”相对应，将六爻卦符转变为二进制码。于是周易卦象除了含有邵雍先天数（自然数）的概念之处又多了一种进制数的信息。而二进制作为现代电子计算机的语言又给周易增加了神秘的色彩。因此，有关先天卦象的特性以及与自然数和进制数之间的关系有待进一步探讨。
本文通过引用康托尔创立的集合论对只能描述而难以精确定义的《周易》进行数学演绎，发现被认为“书不尽言，言不尽意”的“人天整体”系统具有现代科学意义上的集合的特征。周易中的卦名、卦符、卦序、卦辞、爻名、爻符、爻序、爻辞等等一系列描述卦象的名词、符号、词汇和语言都是周易集合当中的组合元素。而这些元素又可以按不同的特性、不同的规律组成一个个相应的子集。本文把所有反映周易的信息的集合称之为易集，并将其划分为卦集、爻集和传集三个主子集。卦集、爻集是表示六十四卦、三百八十四爻信息的集合，反映了周文王时期演绎的以乾卦为首的《周易》的完整系统。因集合有与组成它的元素的先后次序无关的性质，所以《周易》是与以艮卦为首卦的《连山》和以坤卦为首卦的《归藏》具有同样效果的预测信息系统。传集是表示易传十翼信息的集合，反映了孔子时期对《周易》注解的传文包括《彖》、《象》、《文言》、《系辞》、《说卦》、《序卦》、《杂卦》等内容。孔子从蓍草筮占“四营而成易，十有八变而成卦，八卦而小成”的过程中发现卦象可用或阴或阳的爻由下而上叠加而成的“一阴一阳之谓道”的规律，得出“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的推论，并用大小象的概念和八卦组合的方法来重新解释《周易》的卦象。而邵雍将《易传》“分阴分阳”的成卦规律逐步扩展为“一分为二，二分为四，四分为八，八分为十六，十六分为三十二，三十二分为六十四”，形成阴阳两种符号集合的不断直积的过程，由此获得了先天八卦次序图、先天六十四卦次序图和六十四卦方图，从而建立起周易的象数体系。
    由此可见，《周易》在各个时期的演绎过程和变化模式都可以运用集合论这一现代数学的方式展现出来，这充分说明《周易》本身是一门具有逻辑思维的科学，是中国古代学者细微观察、反复思考、不断推演的结果。周易集合论的成功演绎为中国传统文化与西方科学的有机结合创造了一个重要途径。
 
 
参考文献：
[1].《易经求正解》郭扬著，广西人民出版社1990年8月出版
[2]. 《周易象数通论——从科学角度的开拓》李树菁著商宏宽整理，光明日报出版社2007年5月第2版2007年5月第2次印刷
[3].《天人之学》唐明邦自选集 中央编译出版社出版2013年10月第1版第1次印刷
[4].《易学源流与现代阐释》林忠军著 上海古籍出版社出版2012年12月第1版第1次印刷
[5].《公理集合论导引》张锦文著 科学出版社, 1997
[6].《白话易经》郑同编著，华龄出版社2012年1月第1版2014年1月第3次印刷