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随着国内专家学者对周易理论研究的深入，有关太极图理论与现代科学理论特别是现代混沌理论的相互融洽性被不断地发现和证实。如2004年莱布尼茨理学奖获得者、原地震出版社编审、北京周易研究会副主席李树菁先生（1926—2003）就在1998年第九届周易与现代化国际学术讨论会上发表了题为《周易与现代混沌理论》的论文。李先生在论文中从中国古代混沌概念的形成、内容的演绎、学说的发展等几个方面着手，解释了太极图理论与现代混沌理论的一致性，即《易传·系辞》中所说的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”与混沌理论倍周期分岔结构具有相同的形式，《太极图说》中的“二五之精，妙合而凝”似乎就是洛伦兹发现的“奇异吸引子”文字叙述，《归藏易》中的“失之毫厘，差以千里”则是对初始值十分敏感被称之为“蝴蝶效应”的混沌现象的总体概括。由于中国古代混沌理论并未形成完整的科学体系，没能用数学方法对周易理论进行明确表述，论文要把周易与现代混沌理论有机地联系起来难免让人产生一种攀龙附凤的感觉。不过李先生在畅述倍周期分岔结构的生态混沌模式即虫口模型时，将迭代方程X_n+1=λX_n（1-X_n）中的相对虫口数X_n引义为太极图理论阳数，将1-X_n引义为阴数，即阴数+阳数=1或（1-X_n）+X_n=1的思维方法，让本文作者产生了极大的兴趣。因为最近几年，本文作者已经就如何建立太极图数学模型以及用太极图理论来表述现代科学理论方面作了些创造性的探索，如果虫口模型可以用阴阳特性表示，这就意味着太极图具备了现代混沌理论的机理，太极图是宇宙模型的学说就可以在科学的层面上得到确认。下面就这一问题作深一步的探讨研究。

虫口模型是1976年数学生态学家R. May在英国的《自然》杂志上发表的，以模拟生态学昆虫繁殖的动力学行为。昆虫繁殖可以作为动力学系统，系统由状态量与动态特性给出。状态量为描述系统当时状态的量。动态特性为状态演化规则，可以是牛顿方程或者其他方程、或计算规则而定。

假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于一定数值时，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口数目减少。综合考虑正增长和负增长，即激励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换后，最终得到虫口方程（逻辑斯谛映射Logistic map）如下：

X_n+1 = λ X_n（1-X_n）                    （1）

式中X_n为第n代相对虫口数。X_n+1为第n+1代相对虫口数。n=1，2，3，…，∞。

设环境能承受的最大虫口数为N₀，第n代虫口数为N_n，于是有 X_n=N_n/ N₀，相对虫口数不会大于1，X_n∈[0，1]，X_n+1∈[0，1]。

λ为生殖增长率，是系统控制参量，λ∈[0，4]。

注意这里X_n是状态量，逻辑斯谛映射为动态特性。

当λ固定后，选择初值可以进行递推迭代。

（1）λ=0.8时，不同初值经过迭代都逐渐达到同一稳定值0点。

（2）λ=1.8时，任取不同非0初值经过迭代都逐渐达到同一稳定值0.4444，如取X_n=0则得到另一个稳定0点。

（3）λ=3.21时，当n足够大时X_n在两个稳定点0.8022与0.5093来回振动，系统迭代结果出现2倍周期分岔，虫口今年多，明年少，反复循环。

（4）λ=3.5时，系统迭代结果最终在4个稳定点0.5009、0.8750、0.3828和0.8269间周期振动，出现4倍周期分岔。

（5）λ=3.7时，系统发生突变，看不出稳定点，系统失稳，出现混沌振动，迭代结果似乎是一些随机序列，杂乱无章。

例如，取λ=2.8时，X₁分别取=0.1001和0.1002，迭代结果稳定，对初值不敏感，若λ=3.8时，X₁分别取=0.1001和0.1002，迭代结果对初值敏感，初值之“差之毫厘”，结果之“失之千里”。这是一种对初始条件敏感依赖的混沌现象。

混沌现象最初是由美国气象学家洛仑兹（E.N.Lorenz），在20世纪60年代初研究天气预报中大气流动问题时偶然发现的。1963年，洛仑兹在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指出在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期与不可预见性之间的联系。他还发现了混沌现象的“对初始条件的极端敏感性”。洛仑兹后来把它称为“蝴蝶效应”，并通俗地比喻为：一只蝴蝶在巴西煽动翅膀会在得克萨斯引起一场龙卷风。

虫口方程具有对初始条件敏感依赖性，是最早的一个由倍周期分岔通向混沌的例子。为了更全面的了解虫口方程演化过程，可以对控制参量λ所有可能出现的值进行迭代计算分析并绘制图形。

 

图一   相对虫口数目随λ变化的迭代结果

从这幅图中可以看出λ值在系统迭代之后对最终状态的影响。

在 0<λ<1 范围内，系统只有一个稳定的平衡点，即零点。这是一个最普通的 1 周期解，对应系统的稳定态。

在 1<λ<3 范围内，迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的 1 周期解，同样对应系统的稳定状态。显然，λ在此范围内非线性尚未显示什么作用。

在 3<λ<3.5699范围内迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔开始。其中系统在 3～3.449之间为 2 周期，在 3.449～3.544之间为 4 周期……随着λ的增加，分岔越来越密，混沌程度越来越高，直至λ=3.5699 时分岔周期变为∞，最后“归宿”可取无穷多的不同值，表现出极大的随机性。而周期无穷大就等于没有周期，此时系统开始进入完全的混沌状态，混沌状态的λ范围为[3.5699，4]。

美国物理学家费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）敏锐地觉察到了系统在3～3.5699之间存在几何收敛的周期倍化级联现象的规则性，对收敛的速度——标度比的值进行了深入的探讨。他很快发现，相继的分岔点之差具有恒定的比率。这个恒定比率意味着标度率，表明物理学特征必在愈来愈小的标度上再现，这个恒定比率极为重要，被称为“费根值”（Feigenvalue）或费根鲍姆常数。

假设λ(m)为第m个分岔点的参数值，相邻分岔点间隔随着分岔过程越来越小，通过计算得出，当m->∞时相邻分岔点间隔之比必趋于费根鲍姆常数δ，即：

δ=lim [ (λ(m)-λ(m-1)]/[(λ(m+1)-λ(m)]=4.669,201,609,990,9...        

费根鲍姆常数的发现，与普朗克常数h、光速c的发现一样，已成为物理学理论发展史上的一个重要里程碑。它标志着混沌理论的相对成熟，意义十分深远。

由此可见，一个生态方程——虫口模型，经过专家学者不断的探索研究，从中获得了许多非线性动力学系统的特性，找到了混沌现象的深层规律，建立起一门崭新的科学理论。

研究人员发现，表征能够在愈来愈小的标度上再现倍周期分岔混沌现象的费根鲍姆常数虽然得自一个生态方程，但它与种群演化过程无关，也不是该方程特有的而是普适的，是混沌现象深层规律的一种体现。这种普适性为研究和把握混沌带来了许多方便，只要研究一种最简单的模型，就可以将所得结论放心地运用到同类运动形态中去，这就为我们判断太极图是否有混沌现象提供了依据。

有关混沌概念，中国古代许多书籍中已经有过一些论述，混沌理论对我们中国人来说既熟悉又陌生，混沌现象似乎与周易联系在一起，因而引起了国内专家学者对周易理论深入研究的同时也对现代混沌理论进行探索。上世纪末李树菁先生把生态方程中相对虫口数X_n引义为太极图理论之阳数，把1-X_n引义为阴数，如果这一观念成立，太极图与虫口模型一样可以作为研究宇宙万物变化发展规律的宇宙模型。那么太极图理论果真具有这样的概念吗？

自从宋代圣贤继承并创建以来，反映《道德经》“万物负阴抱阳，冲气以为和”圆融一体思想和“反者道之动”物极必反观点的各式各样的太极图形相继问世。如北宋有邵雍的先天太极图、明朝有来知德的来氏太极图、左辅制作的左辅太极图、清朝有胡煦所制的循环太极图等等。本文作者通过对日全食、月相、晷影等各种现象进行仔细观察分析计算，在参考了大量有关太极图理论书籍资料之后，用简单的数学方式对古太极图——太极两仪图（图二）进行了系统描述（见《太极坐标系》）。

自古以来太极图没有数学形式的表示，只有哲学语言的描述，认为太极两仪图由两条基本曲线组成，一是外部圆圈，一是中间S形曲线。中间S形曲线将图形分成两个部分，一部分为阴，另一部分为阳，如《易传•系辞上》所说的“一阴一阳之谓道”。太极两仪图的两个部分具有阴阳两种特性，形成一个有机的整体。按《太极图说》“动而生阳，动极而静，静而生阴，静极复动”的观点，阴阳两种特性在内部既对立又统一，会产生相互转变和相互作用。但没有数学表达式就意味着无法用通常的几何法绘制图形。为此，首先将系统概念纳入太极图理论，把太极图作为一个整体的研究对象看待，太极图实质上是太极系统的表征。其次把太极图划归于平面极坐标体系，因为“太极”一词中本身有“极”的含义。

    图二  古太极图                       图三  用太极坐标系表示的太极图

有关平面极坐标体系在数学教科书中已有详细的论述，它主要由三个要素组成：极点、极轴和极角。太极图平面极坐标体系的极点位于太极图的中央，极轴是一条由极点向外辐射的射线，但极轴方向与通常的极坐标体系不同，参照中国传统方法的南北或子午线的相应方向，即由极点指向上方（中国古代方位的南、午方）为极轴正方向。极角是指极坐标系上的点与极点相连的线段与极轴构成的角度，极角有正负之分。按雷达图的习惯极角取顺时针方向为正，逆时针方向为负。

在太极坐标系下，太极两仪图就可以用三条曲线构成：一条圆周曲线，两条由极点与外圆相连接的曲线。为了与原来阴阳特性保持一致，两条曲线称之为阴阳曲线，用阴阳极坐标函数表示，Y_- 为阴性函数表示阴线，Y₊ 为阳性函数表示阳线。太极两仪图则是三个极坐标函数的组合：

阳线 Y₊=Y(θ₁)       θ₁∈[0，л]            （2）

阴线 Y_-=Y(θ₂)       θ₂∈(л，2л]          （3）

圆    Y₀=常数                              （4）

式中极角θ为系统观察角，观察的方向自内而外，由极点指向外部。当选择一个观察角度后，就可以获得一个太极系统的阴阳数值。当观察角θ∈[0，л]时观察到的是阳线上的数值为阳数，当观察角θ∈(л，2л]时观察到的是阴线上的数值为阴数。图中的阴阳曲线只画出了半个周期，实际上在系统中阴阳两种特性始终存在。这种半个周期显示阴线，另半个周期显示阳线的极坐标系是一种特殊的坐标系，我们把它称之为太极坐标系。

当太极系统处于平衡稳定状态时，其内部的阴阳特性也达到了平衡，即在同一个观察角下阴阳之和为常数：

Y=Y₊+ Y_-= Y₀=常数                    （5）

图四   太极阴阳和合关系                        图五   虫口模型太极图

式（5）表明，太极图外圆的极径可由阴阳两部分叠加组成。从极点至阳线或阴线上的极坐标值为阳值或阴值，从曲线向外延伸至外圆部分的径长为阴值或阳值，如图四所示。为了便于分析研究，我们将太极图定义为无量纲的图形，圆周曲线的半径始终为1个单位，Y₀= 1。因此，系统的阴阳也是无量纲之数，阴阳之和为

Y₊+ Y_-= 1                            （6）         

上式也可以改写成

Y₊= 1- Y_-                             （7）

或

Y_-= 1- Y₊                             （8）

从（6）（7）（8）式可以看出，当太极系统处于平衡状态时，系统中的阴阳特性能够相互转变。如果观察到系统的阴值Y_-，就可得出系统的阳值Y₊=1- Y_-，反之如果观察到系统的阳值Y₊后，就可获得系统的阴值Y_-=1- Y₊。

我们将上述数学表达式与虫口方程相比较，就会惊奇发现：只要将太极图的阳数或阴数代替虫口方程中的相对虫口数X_n=Y₊或X_n= Y_-，虫口方程立刻成为了一个可以用阴阳概念表达的数学方程式，即

X_n+1=λX_n（1-X_n）=λ Y₊·Y_-=λY_- ·Y₊       （9）

X_n与X_n+1分别是虫口系统第n代和n+1代的相对虫口数，与此对应，太极系统也有层次的概念，处于n层次的阴阳为Y(n)_-和 Y(n)₊，处于n+1层次的阴阳为Y(n+1)_-和 Y(n+1)₊。那么（9）式也可以改写成

Y(n+1)_- =λY(n)₊· Y(n)_-                （10）

上式表明：在一个平衡稳定的虫口系统中，n+1代的虫口是n代虫口阴阳之数的乘积，λ为生殖增长率。为了便于研究，我们把阴阳之数的乘积关系称之为阴阳交合作用。

由此可见，当用阴阳概念替代相对虫口数之后，虫口方程就转变化阴阳交合作用表达式。同样，上述表达式也可以理解为：n+1层次的阴阳是n层次的阴阳交合作用的结果。这样，太极图模型就完全等同于虫口模型，可以说太极图是虫口方程的图形表现形式。因此，太极图模型具备了虫口模型所有特性，是现代混沌理论的一个典型的动力学模型。反之，有关中国古代所有太极图的哲理都适合虫口模型的阐述。

下表列出了两种模型的各种特性以及对应关系。

表一    太极图模型与虫口模型的比较

模型名称	虫口模型	太极图模型
建模依据	虫口迭代	阴阳交合
数学方程	Xn+1=λXn（1-Xn）	Y(n+1)- =λY(n)- • Y(n)+
参数范围	n=1，2，3，…，∞	n=1，2，3，…，∞
	Xn为第n代相对虫口数    Xn∈[0，1]	Y(n)-、Y(n)+为第n代阴阳数   Y(n)∈[0，1]
	Xn+1为第n+1代相对虫口数  Xn+1∈[0，1]	Y(n+1)-、Y(n+1)+为第n+1代阴阳数   Y(n+1)∈[0，1]
	λ为生殖增长率      λ∈[0，4]	λ为控制参量       λ∈[0，4]
对应关系	Xn= Y(n)-   （1-Xn）= Y(n)+      Xn+1= Y(n+1)-

 

虫口方程虽然简单，但需要成千上万次数的迭代运算，这个工作只有现代计算机才能胜任。现代混沌理论也是有了计算机之后才初步形成和发展的。不可思议的是，在西方过去没有办法做到的事情居然在中国古代早已有了。

太极图模型等同于虫口模型，因此太极图模型具有虫口模型的所有特性。由于太极图是由《周易》、《道德经》等哲学思想演变而来的，正如李树菁先生理解的那样，在虫口模型各种混沌的特性中可以找到中国传统哲理的影子。

1. 《道德经》与控制参量λ

虫口模型是个非线性差分方程，经过长时间的迭代运算，系统的结果按λ变化的图形分为三个区域，一是λ∈（0，1），二是λ∈（1，3），三是λ∈（3，4）。很快发现，三个区域反映出系统的三种状态。第一个区域迭代结果都会趋向于零，是“无”的表现。第二个区域迭代结果出现持续增长的稳定状态，是“有”的表现。第三个区域迭代结果是变化的状态，随λ增大状态越来越不稳定甚至出现无穷多种可能，是“万物（众多）”的表现。这就让我们联想起《道德经》中老子说的那句话，“天下万物生于有，有生于无”，即系统随λ按无→有→万物现象变化。假如用无形无象的“道”来象征“无”，那么“道生一，一生二，二生三，三生万物”又恰恰表述了系统的三个λ变化区域的关系，如图六所示。

 

图六   《道德经》与虫口方程迭代结果的关系

2.《易经》与倍周期分岔

倍周期分岔是虫口模型的重要特征。在λ小于3之前，不论初始值取多少，迭代的结果总是一个确定值，即系统只一个稳定状态。当λ大于3之后，系统出现倍周期分岔的2、4、8、16、32、64…个稳定状态，这种现象可以用《易传·系辞》中所说的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”来描述。“太极”表示周期一时的迭代结果，“两仪”表示周期二时的迭代结果，“四象”表示周期四时的迭代结果，“八卦”表示周期八时的迭代结果。《周易》的六十四个卦象则是对系统周期为六十四时的迭代结果完整表述。由于周期一时系统出现的是一个稳定状态，如果在λ小于1之前“无”的状态定义为“无极”，在λ大于1和小于3之间的状态定义为“太极”，那么随着λ从0到3的增大，系统状态就会出现“无极而太极”的过渡过程（《太极图说》）。

3. 《归藏易》与“蝴蝶效应”

虫口模型具有对初始条件敏感依赖性，也就是“蝴蝶效应”。当λ大于3.5699之后，系统的分岔周期达到无穷大，迭代的结果会出现无穷多种状态，对初值极为敏感，成为不可预测。因此《归藏易》的“失之毫厘，差以千里”正是“蝴蝶效应”这种混沌现象的真实写照。

 

有关太极图内容的传统哲理还有很多很多，都是建立在“负阴抱阳”的整体合一和“一阴一阳之谓道”的对立互补、消长转换、相互作用的基础之上。太极图能够表征混沌现象，其模型一旦确立，这些依靠计算机运算的混沌理论的物理意义变得非常明确。因而摆在我们面前迫切需要解决的任务是如何用阴阳特性重新描述混沌现象。

 

混沌理论是在计算机的发展过程中形成和发展的，用初始迭代函数通过计算机的递归演算，形成中间的奇异吸引子，调节适当的参数出现各式各样的图像曲线。由于混沌理论是非线性的函数而且时间上是间断性的代延（一代一代延续），很难用现有的数学模式来严格地表达。离开了计算机，混沌理论在现实生活中也就很难发挥作用。而在中国，这个情况就不一样了。作为文明古国，本土文化一直延续到现在从来没有间断过，那怕是外来民族集权控制的时期。所以，混沌状态的自然演化过程在中国得以完整地体现。自文明产生之后的五千多年前伏羲时代开始，自然演化的各种状态不断被人们所观察和认识。经过各个时代圣贤们的归纳、总结和提炼，形成了一系列反映混沌现象的学术哲理如《易经》、《道德经》、《太极图说》等等。但是，这些观点和学说由于概念上的高度抽象又缺乏操作过程中的逻辑推理，对一般人来说都无法理解和接受，那些记载易理的书籍简直就是“天书”。直到现在，西方科学包括计算机技术的迅猛发展，逐渐与东方文明融合之后，这种依靠直觉感悟的间断性的代延理论，才有了施展才华的空间。当我们把描述统一整体观的太极坐标系引入观察系统，并用阴阳特性取代了虫口相对数之后，发现太极图模型与虫口模型几乎完全等效，太极图理论具有混沌现象的所有特性，太极图是虫口模型完美的图形表现形式。科学研究表明，虫口模型不仅仅适用于生物演化领域而且还适用于各个自然科学领域乃至社会科学领域，由此可见，在不久的将来，随着太极图理论的不断发展和完善，蕴藏混沌特性的太极图定将成为人类研究探索宇宙的数学模型。