弦两端点处的切线(二)

　　定理1 已知椭圆C:+=1(a>b>0),过定点M(m,0)(m≠0)的直线交椭圆C于A,B两点,则A,B两点处的椭圆C的两条切线的交点在定直线x=上.

　　推论1 已知椭圆C:+=1(a>b>0),过定点M(0,m)(m≠0)的直线交椭圆C于A,B两点,则A,B两点处的椭圆C的两条切线的交点在定直线y=上.

　　定理2 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过定点M(m,0)(m≠0)的直线交双曲线C于A,B两点,则A,B两点处的双曲线C的两条切线的交点在定直线x=上.

　　推论2 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过定点M(0,m)(m≠0)的直线交双曲线C于A,B两点,则A,B两点处的双曲线C的两条切线的交点在定直线y=-上.

　　定理3 已知抛物线C:y2=2px(p>0),过定点M(m,0)(m≠0)的直线交抛物线C于A,B两点,则A,B两点处的抛物线C的两条切线的交点在定直线x=-m上.

　　(蔡俊祥)

　　弦中点对应的切线

　　定理1 设PQ为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的任意一条弦,R为PQ的中点,过R作x轴的垂线,交抛物线于点M,则抛物线在点M处的切线与弦PQ所在直线平行.

　　定理2 设PQ为椭圆+=1(a>b>0)的任意一条弦,R为PQ的中点,T是直线RO(O为坐标原点)与椭圆的交点,则椭圆在点T处的切线与弦PQ所在直线平行.

　　定理3 设PQ为双曲线-=1(a>b>0)的任意一支的任意一条弦,R为PQ的中点,T是直线RO(O为坐标原点)与双曲线的交点,则双曲线在点T处的切线与弦PQ所在直线平行.

　　(姚新国)

　　弦两端点处的切线(三)

　　定理1 已知定圆C:x2+y2=r2,经过定点M(x0,y0)的动直线与圆C交于A,B两点,若分别过点A,B的圆C的切线l1,l2相交于点P,则动点P的轨迹方程是x0x+y0y=r2.

　　推论1 已知定椭圆C:+=1(a>b>0),经过定点M(x0,y0)的动直线与椭圆C交于A,B两点,若分别过点A,B的椭圆C的切线l1,l2相交于点P,则动点P的轨迹方程是+=1.

　　定理2 已知定圆C:x2+y2=r2,经过定直线l:mx+ny

　　=r2上位于圆C外的任一点M,向圆C作两条切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点(m,n).

　　推论2 已知定椭圆C:+=1(a>b>0),经过定直线l:+=1上位于椭圆C外的任一点M,向椭圆C作两条切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点(m,n).

　　(张怀善)

　　 “焦点弦”、对称轴的平行线与准线

　　定理1 设过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条弦为AB,过B作BC∥x轴,交抛物线准线于点C,则直线AC经过原点.

　　定理2 设过椭圆+=1(a>b>0)右焦点F的一条弦为AB,过B作BC∥x轴,交椭圆右准线l于点C,又l交x轴于点E,则直线AC经过线段EF的中点.

　　定理3 设过双曲线-=1(a>0,b>0)右焦点F的一条弦为AB,过B作BC∥x轴,交双曲线右准线l于点C,又l交x轴于点E,则AC经过线段EF的中点.

　　(武守维)

　　 对称中点对弦的张角

　　引理1 直线mx+ny=1与椭圆+=1(a>b>0)相交a2m2+b2n2>1;相切a2m2+b2n2=1;相离a2m2+b2n2<1.

　　引理2 直线mx+ny=1与双曲线-=1(a>0,b>0)相交a2m2-b2n2≠0且a2m2-b2n2<1;相切a2m2-b2n2=1;相离a2m2-b2n2>1.

　　(编者注 请同学们思考,当a2m2-b2n2=0时,直线与双曲线有怎样的位置关系.)

　　定理1 若直线mx+ny=1与椭圆+=1(a>b>0)有两个交点P,Q,则∠POQ=90°(O为坐标原点)=m2+n2=+;∠POQ为锐角>;∠POQ为钝角<.

　　推论1 对于椭圆+=1(a>b>0)和圆x2+y2=,有圆的任意一条切线与椭圆相交,设交点为P,Q,则有∠POQ=90°(O为坐标原点).

　　定理2 若直线mx+ny=1与双曲线-=1(b>a>0)有两个交点P,Q,则∠POQ=90°(O的坐标原点)=m2+n2=-;∠POQ为锐角<;∠POQ为钝角>.

　　推论2 对于双曲线-=1(b>a>0)和圆x2+y2=,有圆的任意一条不平行于双曲线渐近线的切线与双曲线相交,设交点为P,Q,则有∠POQ=90°(O为坐标原点).

　　(周战武)

　　 对称两点与对称轴上两点交叉相连

　　定理1 设D,E为椭圆+=1(a>b>0)上关于x轴对称的两点,A(x1,0),B(x2,0)为x轴上的两点,且x1x2=a2,则直线AD,BE的交点仍在该椭圆上.

　　推论1 设D,E为椭圆+=1(a>b>0)上关于y轴对称的两点,A(0,y1),B(0,y2)为y轴上的两点,且y1y2=b2,则直线AD,BE的交点仍在该椭圆上.

　　定理2 设D,E为双曲线-=1(a>0,b>0)上关于x轴对称的两点,A(x1,0),B(x2,0)为x轴上的两点,且x1x2=a2,则直线AD,BE的交点仍在该双曲线上.

　　推论2 设D,E为双曲线-=1(a>0,b>0)上关于y轴对称的两点,A(0,y1),B(0,y2)为y轴上的两点,且y1y2=-b2,则直线AD,BE的交点仍在该双曲线上.

　　定理3 设D,E为抛物线y2=2px(p>0)上关于x轴对称的两点,A(x1,0),B(x2,0)为x轴上的两点,且x1+x2=0,则直线AD,BE的交点仍在该抛物线上.

　　(朱传美)

　　对“焦准弦”性质的推广

　　定理1 设椭圆+=1(a>b>0),N(n,0)(0<|n|

　　

　　定理2 设双曲线-=1(a>0,b>0),N(n,0)(|n|>a)为其对称轴上的一点,过点N的直线交双曲线于A,B两点,交直线l:x=于点M,若=λ1,=λ2,则λ1+λ2=0.

　　定理3 设抛物线y2=2px(p>0),N(n,0)(n>0)为其对称轴上的一点,过点N的直线交抛物线于A,B两点,交直线l:x=-n于点M,若=λ1,=λ2,则λ1+λ2=0.

　　定理4 点N(x0,y0)不在椭圆+=1(a>b>0)上,过点N的直线交椭圆于A,B两点,交直线l:+=1于点M(异于点A,B),若=λ1,=λ2,则λ1+λ2=0.

　　定理5 点N(x0,y0)不在双曲线-=1(a>0,b>0)上,过点N的直线交双曲线于A,B两点,交直线l:-=1于点M(异于点A,B),若=λ1,=λ2,则λ1+λ2=0.

　　定理6 点N(x0,y0)不在抛物线y2=2px(p>0)上,过点N的直线交抛物线于A,B两点,交直线l:y0y=p(x+x0)于点M(异于点A,B),若=λ1,=

　　λ2,则λ1+λ2=0.

　　定理7 点N(x0,y0)不在椭圆+=1(a>b>0)上,过点N的直线交椭圆于A,B两点,交直线l:+=μ于点M(异于点A,B),若=λ1,=λ2,则λ1+λ2=-(定值).

　　定理8 点N(x0,y0)不在双曲线-=1(a>0,b>0)上,过点N的直线交双曲线于A,B两点,交直线l:-=μ于点M(异于点A,B),若=λ1,=λ2,则λ1+λ2=-(定值).

　　定理9 点N(x0,y0)不在抛物线y2=2px(p>0)上,过点N的直线交抛物线于A,B两点,交直线l:y0y=

　　p(x+x0)+μ于点M(异于点A,B),若=λ1,=

　　λ2,则λ1+λ2=-(定值).

　　(林新建)

　　对称中点对“焦点弦”的张角

　　定理1 椭圆+=1(a>b>0)中,设过右焦点F的动直线l交椭圆于A,B两点,且恒有|OA|2+|OB|2<

　　|AB|2(O为坐标原点),则椭圆的离心率e的取值范围为0,.

　　定理2 双曲线-=1(a>0,b>0)中,设过右焦点F的动直线l交双曲线右支于A,B两点,且恒有

　　|OA|2+|OB|2<|AB|2(O为坐标原点),则双曲线的离心率e的取值范围为,+∞.

　　定理3 抛物线y2=2px(p>0)中,设过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,则恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2(O为坐标原点).

　　(洪丽敏)

　　 以焦点为中心等分椭圆

　　定理 如下图,在椭圆+=1(a>b>0)上取n个点,使每相邻两点与同一焦点连线所夹的角均相等,那么这n个点与这个焦点所形成的n个焦半径的倒数之和等于.

　　(于志洪)