关于对称轴上点到曲线上点的距离***

　　定理1 已知抛物线y2=2px(y2=-2px),其中常数p>0,若顶点是抛物线上到点A(m,0)距离最近的点,则实数m的取值范围为m≤p(m≥-p).(抛物线焦点在y轴上时也有类似的结论.)

　　定理2 已知椭圆+=1(常数a>b>0),若右顶点是椭圆上到点A(m,0)距离最近的点,则实数m的取值范围为m≥;若左顶点是椭圆上到点A(m,0)距离最近的点,则实数m的取值范围为m≤-(c=,后同).(椭圆焦点在y轴上时也有类似的结论.)

　　定理3 已知双曲线-=1(常数a>0,b>0),若右顶点是双曲线右支上到点A(m,0)距离最近的点,则实数m的取值范围为m≤;若左顶点是双曲线左支上到点A(m,0)距离最近的点,则实数m的取值范围为m≥-(c=,后同).(双曲线焦点在y轴上时也有类似的结论).

　　 ***关于“焦点弦”的垂直平分线***

　　定理1 已知椭圆+=1(a>b>0)的右(左)焦点为F,过点F且不与坐标轴垂直的直线倾斜角为α,且交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,则点P的横坐标为-,随着α的变化,其取值范围为0,-,0.

　　定理2 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右(左)焦点为F,过点F且不与坐标轴垂直的直线倾斜角为α,且交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,则点P的横坐标为-,随着α的变化,其取值范围为(-∞,0)∪,+∞-∞,-∪(0,+∞).

　　定理3 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且不与坐标轴垂直的直线倾斜角为α,且交抛物线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,则点P的横坐标为+pcot2α,随着α的变化,其取值范围为,+∞.

　　 ***关于“垂直焦点弦”***

　　定理1 已知椭圆+=1(a>b>0)的左(右)焦点为F,过点F的两条直线分别交椭圆于A,C和B,D四点,且AC⊥BD,则四边形ABCD面积的最小值为.

　　推论1 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交椭圆于A,C两点,过点F2的直线交椭圆于B,D两点,且AC⊥BD,则四边形ABCD面积的最小值为.

　　推论2 过椭圆+=1(a>b>0)右(左)焦点F作两条互相垂直的弦AC,BD,若AC,BD的中点分别为P,Q,则直线PQ过点,0-,0.

　　推论3 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交椭圆于A,C两点,过点F2的直线交椭圆于B,D两点,且AC⊥BD,设AC,BD交于点P,则点P的轨迹方程为x2+y2=c2.

　　定理2 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左(右)焦点为F,过点F的两条直线分别交双曲线于A,C和B,D四点,且AC⊥BD,则四边形ABCD面积的最小值为2b2.

　　推论4 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交双曲线于A,C两点,过点F2的直线交双曲线于B,D两点,且AC⊥BD,则四边形ABCD面积的最小值为2b2.

　　推论5 过双曲线-=1(a>0,b>0)右(左)焦点F作两条互相垂直的弦AC,BD,若AC,BD的中点分别为P,Q,则直线PQ过点,0-,0.

　　推论6 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交双曲线于A,C两点,过点F2的直线交双曲线于B,D两点,且AC⊥BD,设AC,BD交于点P,则点P的轨迹方程为x2+y2=c2.

　　定理3 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的两条直线分别交抛物线于A,C和B,D四点,且AC⊥BD,则四边形ABCD面积的最小值为8p2.

　　推论7 过抛物线y2=2px(p>0)焦点F作两条互相垂直的弦AC,BD,若AC,BD的中点分别为P,Q,则直线PQ过点,0.

　　 ***关于“焦准弦”***

　　定理1 已知F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,P为椭圆C的右准线上的动点,直线PF2交椭圆C于A,B两点.设=λ,=μ,则λ+μ=0即=.

　　定理2 已知F2为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,P为双曲线C的右准线上的动点,直线PF2交双曲线C于A,B两点.设=λ,=μ,则λ+μ=0即=.

　　定理3 已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,P为其准线上的动点,直线PF交抛物线于A,B两点.设=λ,=μ,则λ+μ=0即=.

　　 ***关于“焦轴弦”***

　　定理1 已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若=λ,=μ,则λ+μ=-.

　　定理2 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F的直线交双曲线于A,B两点,交y轴于点M,若=λ,=μ,则λ+μ=.

　　定理3 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的线交抛物线于A,B两点,交y轴于点M,若=λ,=μ,则λ+μ=-1.

　　***关于焦点对延长后过准线与

　　对称轴交点的弦的张角***

　　定理1 设F是椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,P为F对应的准线与x轴的交点,过点P的直线交椭圆于A,B两点,则恒有kAF +kBF=0.

　　逆定理1 设F是椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,A,B是椭圆上的两点,且直线AB不与x轴垂直,若kAF +kBF=0,则直线AB恒过F对应的准线与x轴的交点P.

　　定理2 设F是双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,P为F对应的准线与x轴的交点,过点P的直线交双曲线于A,B两点,则恒有kAF +kBF=0.

　　逆定理2 设F是双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,A,B是双曲线上的两点,且直线AB不与x轴垂直,若kAF +kBF=0,则直线AB恒过F对应的准线与x轴的交点P.

　　定理3 设F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,P为抛物线的准线与x轴的交点,过点P的直线交抛物线于A,B两点,则恒有kAF +kBF=0.

　　逆定理3 设F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A,B是抛物线上的两点,且直线AB不与x轴垂直,若kAF +kBF=0,则直线AB恒过点-,0.

　　推广定理 设E(a,0)(a>0)是x轴正半轴上的一点,A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,直线AB不与x轴垂直,若kAE +kBE=0,则直线AB恒过点(-a,0).

　　***关于曲线上的点对直径的张角***

　　定理1 分别作圆x2+y2=r2(r>0)上异于某一直径两端点的任一点与该直径两端点的连线,则两条连线的斜率(如果存在)之积为-1.

　　定理2 分别作椭圆+=1(a>b>0)上异于某一直径(过原点O的弦)两端点的任一点与该直径两端点的连线,则两条连线的斜率(如果存在)之积为-.

　　定理3 分别作双曲线-=1(a>0,b>0)上异于某一直径(过原点O的弦)两端点的任一点与该直径两端点的连线,则两条连线的斜率(如果存在)之积为.

　　一般性结论 分别作曲线Ax2+By2=1(AB≠0)上异于某一直径两端点的任一点与该直径两端点的连线,则两条连线的斜率(如果存在)之积为-.

　　 ***关于“切圆弦”***

　　定理1 已知椭圆C:+=1(a>b>0),圆O:x2+y2=,则圆O的任意一条切线必与椭圆C相交,设两个交点为A,B,则必有OA⊥OB,≤|AB|≤.

　　定理2 已知双曲线C:-=1(b>a>0),圆O:x2+y2=,则圆O的任意一条切线必与双曲线C相交,设两个交点为A,B,则必有OA⊥OB.

　　 ***关于弦两端点处的切线(一)***

　　定理1 已知椭圆+=1(a>b>0),P是直线x=m(m>a)上的任一点,过点P作椭圆的两条切线PA,PB,切点为A,B,则点M,0在直线AB上(即为AB与x轴的交点).

　　定理2 已知双曲线-=1(a>0,b>0),P是直线x=m(0

　　定理3 已知椭圆+=1(a>b>0),A(m,0),B,0(m>a)是x轴上的两点,若直线AC交椭圆于C,D两点,直线BC交椭圆于C,E两点,则DE⊥x轴.

　　定理4 已知双曲线-=1(a>0,b>0),A(m,0),B,0(0