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　　离心率是三类圆锥曲线共有的,解决此类问题的关键在于构造合适的直角三角形,通过三角函数性质、勾股定理、射影定理并结合椭圆(双曲线)的定义、建立方程或不等式,从而顺利求解.

　　 例1 A,B是椭圆+=1(a>b>0)长轴的两个端点,过其右焦点F作长轴的垂线l,M为l与椭圆的一个交点,若sin∠AMB=,则此椭圆的离心率为 .

　　分析 把∠AMB的正弦值转换为正切值是解本题的突破口.

　　 解 如图1,在直角三角形AMF中,设∠AMF=α,有|AF|=a+c,|MF|=,则tanα==.

　　在直角三角形BMF中,设∠BMF=β,有|BF|=a-c,|MF|=,则tanβ==.

　　则tan(α+β)==.

　　因为sin∠AMB=,所以cos∠AMB=

　　-,所以tan∠AMB=-3.

　　所以=-3,故a2=3b2,得e==.

　　 例2 设F,F分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,l为右准线.若在椭圆上存在点M,使|MF|,|MF|,点M到直线l的距离d成等比数列,则此椭圆的离心率的取值范围是.

　　分析 本题属于较难题,难在不等关系的寻找与建立.注意利用椭圆的范围.

　　 解 因为|MF|,|MF|,d成等比数列,所以|MF|2

　　=|MF|•d,即=.

　　由椭圆的第二定义,知=e,所以=e,即|MF|=e•|MF|.

　　设M为(x,y),由椭圆的焦半径公式,得a-ex=

　　e(a+ex),解得x=.

　　因为点M在椭圆上,所以-a≤x≤a,即-a≤≤a.

　　又0

　　 例3 已知F,F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为右支上的一点,点P到右准线的距离为d,若|PF|,|PF|,d依次成等差数列,则此双曲线的离心率的取值范围是.

　　分析 注意利用双曲线的范围.

　　 解 设P为(x,y),则x≥a.

　　因为2|PF|=d+|PF|,|PF|-|PF|=2a,所以|PF|=d+2a.故ex-a=x-+2a.

　　所以x=≥a,即e2-4e+1≤0,得e∈(1,2+].

　　 例4 过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为椭圆C的右焦点F,若

　　分析 解本题的突破口是利用图形的几何特征,运用椭圆的三个基本量a,b,c之间的关系,再用公式e=,并结合题中条件求得e的取值范围.

　　 解 由题设,有|BF|=,|AF|=a+c.

　　在Rt△ABF中,有k=tan∠BAF=====1-e.所以<1-e<,即

　　 例5 以椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F为圆心,a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是.

　　分析 本题的突破口在于发现点F到右准线的距离与圆F的半径a的不等关系.

　　 解 由题意知椭圆的右焦点F为(c,0),右准线为x=,F到右准线的距离d=-c.

　　因为以F为圆心,a为半径的圆与椭圆的右准线交于两不同的点,所以a>-c,得ac>a2-c2,两边同除以a2,得关于e的不等式e2+e-1>0,解得

　　 例6 如图2,在△ABC中,若tan=,•=0,则过点C且以A,H为两焦点的双曲线的离心率为.

　　分析 本题有一定的难度,突破口在于运用双曲线的第一定义建立离心率e的表达式.

　　 解 由tan=,得tanC==.

　　由•=0,可知AH⊥BC.

　　而过点C且以A,H为两焦点的双曲线的离心率e=.

　　由于△AHC为直角三角形,且tanC==,故可设|AH|=4a,|CH|=3a,则|AC|=5a.

　　所以e===2.

　　 例7 双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,双曲线上存在点P,使得|PF|=

　　4|PF|,则双曲线的离心率的取值范围是 .

　　分析 本题的突破口在于双曲线上的点到其焦点的距离的范围.

　　 解 点P显然在双曲线的右支上,故|PF|=2a+

　　|PF|=4|PF|,所以3|PF|=2a.

　　因为P到F的距离与到右准线的距离成正比,所以当P是双曲线的右顶点时,|PF|最小,即|PF|≥c-a.

　　于是3(c-a)≤2a,即e≤.又e>1,故e∈1,.

　　1. 椭圆+=1(a>b>0)的焦点F,F分别在双曲线-=1的左、右准线上,则椭圆的离心率为 .

　　2. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,若与AF平行且在y轴上的截距为3-的直线l恰好与圆C:x2+(y-3)2=1相切,则椭圆C的离心率为 .

　　3. 已知点A为(0,b),B为椭圆+=1(a>b>0)的左准线与x轴的交点,若线段AB的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为.

　　4. 设F,F为椭圆的两个焦点,A为椭圆上的点,若已知•2=0,且sin∠AFF=,则该椭圆的离心率为 .

　　5. 若椭圆+=1(a>b>0)上的点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离,则该椭圆的离心率的取值范围是.

　　6. 若A,B为椭圆+=1(a>b>0)的长轴的两端点,Q为椭圆上的一点,使∠AQB=120°,则该椭圆的离心率的取值范围是 .

　　7. 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0),若双曲线上存在一点P,使=,则该双曲线的离心率的取值范围是 .(

　　《求圆锥曲线离心率的常规方法》

　　1. . 2. . 3. .

　　4. . 5. ,1. 6. ,1.

　　7. (1,+1).