培养数学家的头脑
答网友问(22-1)
网友问:大学时代及以后是如何引导孩子?
蔡 答:我用我书中的几篇文章回答这个问题.
(一)学习方面:培养数学家的头脑
如果没有在大学阶段培养出很强的功底，
为将来发展打好结实的基础，那么，纵
然成绩优秀，毕业之后也无非是混到一
个职业，不可能在学术上有所建树。
天文踏进大学校门之后，在学业上就开始真正的显示出优势。从班级的第十名，很快就进到第六名，然后第三名，最后进到全年级第一名。从小培养起来的自学能力，现在开始起作用了，因为大学里的课程大部分需要自己钻研，并不是一课一课由老师教，所以较强的自学能力就能表现出优势。天文在学业上的领先已在意料之中。
但是对我们来说，仅仅学业上的优秀是不够的，因为作为大学数学系的学生；如果没有在大学阶段培养出很强的功底，为将来的发展打好结实的基础的话，那么纵然成绩优秀，毕业之后也只是去做一份没有创造力的工作，很难在学术上取得很大的建树。
所以，天文一进大学之后，我们就鼓励他制订全面的自学计划。在知识爆炸的今天，要想成为一个高斯、希尔伯特式的全能数学家是不可能的，即使成为一个代数学家或几何学家也是不可能。任何第一流天才也只能在某一个很狭窄的专业领域内有所成就。但是，这并不表示学生从一开始就必须找到他将来所从事的专业领域，因为这事实上是不可能的。
况且，不论你将来从事什么专业领域，那些最基本的数学基础理论还是必须具备的。另外，要想成为世界一流的数学家，最重要的是：必须在大学时代接受严格的数学思维的训练。也就是说，你必须培养好一个真正数学家的头脑，这比你学多少知识，考多少分数都更重要。
基于上述的想法，我们选择了几何学作为天文训练数学思维的自学课程，我当时之所以选择几何学作为训练数学思维，培养数学家头脑的课程，主要有两个原因：
首先，由于几何理论的明确、演证的有步骤和说理的清楚，使几何学里在远古时代就登入了哲学家的高雅之堂。并且由于哲学家的涉足，使得几何学在人类文明的早期就建立了严谨的逻辑体系，而这逻辑体系几千年来一直作为科学理论的楷模。也就是说，从几何学的理论体系，科学家认识到一门谨严的科学理论应该具有怎样的逻辑结构。因此，今后无论从事哪一个专业领域，以几何学的理论体系来训练自己的数学思维是最佳的选择。
其次，几何学曾经为艺术家创造艺术美作出过重大的贡献，而几何学理论本身则是数学家为人类创造的至高无上的艺术品，它是大自然完美和谐的数学缩影，堪称人类精神文明的最高花朵。几何理论的数学美，曾陶冶过无数科学天才的心灵，使得他们有信心在乱杂无章的世界中去探索一种秩序井然的存在，去追求物质世界的统一。因此，对于一个决心献身于数学事业的人来说，不管将来在哪个领域里找到归宿，在开端起始时，就让几何学的数学美来陶冶自己的心灵，必能为他将来的发展积蓄无形的精神力量。
天文很高兴地接受了我们的想法，从第一个学期至第五个学期二年半时间里，他自学了几何学基础，绝对几何、欧几里德几何、罗氏几何、仿射几何、投影几何、微分几何、黎曼几何等等，并在全面深入自学研究的基础上写出了书面总结。当时，他打算写一部比较详细的“几何学通论”，作为他的学习总结。后来他征询了我的意见，我建议写总结提纲的形式，否则会占用太多的时间，而且现有水平和资料毕竟有限，不可能得到发表的机会，最后他写了一个总结，名为“几何学大纲”，其中重点突出以希尔伯特方式、克莱因方式和黎曼方式建立几何学的程序，及相互关系。并写了一篇题为“二维曲面上的初等几何”的论文。我看了后深感欣慰，他已经发现了几何学的“美”之所在。从此之后，我们在数学讨论方面有了真正的共同语言。