椭圆、双曲线的离心率是高考常考的知识点，对于它的求值，我们可以依据题目的不同采取不同的求解方法.下面让我们一起来赏析求解离心率的几种方法.

　　一、 通过构建方程求解

　　列方程求值是求解离心率的一种重要方法，关键是要善于捕捉显性或隐性的等量关系，包括几何等量关系和代数等量关系，构建出关于e的方程，使e一解而出.

　　在椭圆+=1（a＞b＞0），双曲线-=1（a＞0，b＞0）中，P为其图像上任意一点，F1，F2为左、右焦点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β（0＜α，β＜π），过点P作左、右准线的垂线，记两个垂足依次为M，N，则它们的离心率e有下列三种几何形式.

　　1. 三边式（第一定义式）：椭圆e=，双曲线e=；

　　2. 焦准式（第二定义式）：椭圆、双曲线都有e==；

　　3. 三角式（导出正弦式）：椭圆e=，双曲线e=.

　　这里只证第3组公式：在椭圆中e====；在双曲线中，同理可证.

　　 例1 过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点.若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率e为（）

　　A. B. C. D.

　　 解 设左准线为l，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，不妨设|FB|=1，|FA|=2，由第二定义，得=e，=e.即|AA′|=， |BB′|=.

　　过B作BM⊥AA′于M，在Rt△ABM中，∠BAM=30°，所以-=×3，解之得e=，选D.

　　 例2 设双曲线-=1（0＜a＜b ）的焦距为2c，直线l过A（a，0），B（0，b）两点，已知原点O到直线l的距离为c ，则双曲线的离心率e=_____.

　　 解 在Rt△AOB中，•c=ab，又b2=c2-a2，所以原方程可化为c2=a，即3e4-16e2-16=0，解得e2=4或e2=.

　　又b＞a＞0，所以＞1，e2==1+＞2，所以e2=舍去.即e=2.

　　题结 以上两例充分挖掘平面几何的性质，利用三角形中的等量关系构建等式，从而化为关于e 的方程，解得离心率.

　　 例3 若F1，F2分别为双曲线-=1的下、上两焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的下支上，点M在准线上，且满足=，=λ+（λ＞0），求此双曲线的离心率e.

　　 解 因为==，则四边形OF1PM为平行四边形.又 =λ+，则四边形OF1PM为菱形.所以|PF1|=c，|MP|=c.

　　由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a，即|PF2|=2a+c；由双曲线的第二定义，得=e，即+1=e，解得e=2或e=-1（舍去）.

　　题结 双曲线的两个定义具有明显的平面几何性质，通过第二定义构建方程，从而解出离心率，同时综合了向量的几何形式的运算.

　　 例4 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，+与a=（3，-1）共线，求椭圆的离心率e.

　　 解 设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），F （c，0），则直线AB的方程为y=x+c，将其代入+=1，消去y得（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.

　　令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=.

　　又+=（x1+x2，y1+y2）与a=（3，-1）共线，则3（y1+y2）+（x1+x2）=0.又y1=x1-c，y2=x2-c，所以3（x1+x2-2c）+x1+x2=0，x1+x2=c.

　　即=c，解得2a2=3c2，故e2=，e=.

　　题结 此题设而不求，利用韦达定理、向量共线构建a，b，c的等量关系，进而蜕变出关于e的方程，使e一解而出.

　　 二、 通过构建不等式求解

　　除了要善于捕捉显性或隐生的等量关系，我们还要学会捕捉显性或隐性、代数或几何的不等量关系，实现等式向不等式的飞跃，进而变形蜕变出关于e的不等式，得出题目所要求的解.

　　 例5 已知双曲线-=1（a＞0 ，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左准线为l，点P在双曲线的左支上，且|PF1|是点P到l的距离d与|PF2|的等比中项，求双曲线离心率的最大值.

　　 解 由题意，得|PF1|2=d|PF2|，又由第二定义，得==e.

　　由第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a.

　　联立两式，解得|PF1|=，|PF2|=.

　　又|PF1|+|PF2|≥2c，所以+≥2c，即1+e≥e（e-1）.又e＞1，解得1＜e≤+1，即离心率的最大值为+1.

　　题结 捕捉三角形边的不等关系构建不等式.

　　 例6 双曲线-=1（a＞0，b＞0）右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求双曲线离心率的最大值.

　　 解 设双曲线右支上的点为P（x0，y0），则由焦半径公式|PF2|=ex0-a，得x0+=ex0-a，得x0=.

　　又点P在双曲线右支上，即x0≥a，所以≥a，即≥1，解得1＜e≤+1，即离心率的最大值为+1.

　　即当右顶点是左准线在x轴上交点与右焦点构成的线段的中点时，双曲线离心率取得最大值.

　　题结 通过双曲线上点的横坐标的范围构建不等式.

　　 例7 若椭圆+=1（a＞b＞0） 上存在一点P使∠F1PF2=120°，F1，F2为椭圆的左、右焦点，求椭圆离心率的最小值.

　　 解 设|PF1|=r1， |PF2|=r2，由余弦定理，得r1 2+r2 2-2r1r2cos120°=4c2，得4a2-2r1r2-2r1r2cos120°=4c2，即r1r2=4b2.

　　又r1r2≤2=a2，所以4b2≤a2，故3a2≤4c2，得e2

　　≥，所以1＞ e≥，即离心率的最小值为.

　　当且仅当点P为椭圆的上顶点时，椭圆的离心率取得最大值，其它的椭圆比这个椭圆都要扁一些.

　　题结 捕捉重要不等式的背景构建不等式.

　　 例8 过椭圆+=1（a＞b＞0）左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且 •=0，求椭圆离心率的最小值.

　　 解 为避免讨论，设直线PQ的方程为x+c=my?摇（m∈R）.

　　令P（x1，y1），Q（x2，y2），则x+c=my，b2x2+a2y2=a2b2，消去x得（a2+m2b2）y2-2mcb2y-b4=0.所以y1+y2=， y1y2=

　　-.

　　因为•=0，所以x1x2+y1y2=0，又x1=my1-c，x2=my2-c.所以（my1-c）（my2-c）+y1y2=0，即（m2+1）b4+2m2c2b2=c2（a2+m2b2），解得m2=.

　　所以≥0，即ac≥b2，得c2+ac-a2≥0，即e2+e-1≥0，所以≤e＜1，即离心率的最小值为?摇（当且仅当m=0时，即直线PQ与x轴垂直时，椭圆离心率最小.这个椭圆也叫黄金椭圆（优美椭圆））.

　　题结 捕捉 m2≥0?摇的性质构建不等式.

　　 例9 已知双曲线 -=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围.

　　 解 依题意，有≥tan60°，即≥3，得e2-1≥3，解得e≥2.

　　题结 数形结合构建不等式.

　　最值（范围）问题是数学习题中一道亮丽的风景线，常用数形结合法和构造函数法，构建不等式解出最值也不失为其中的一种重要方法.

　　1. （2009年江西理科卷6）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）

　　A. B. C. D.

　　2. （2009年全国Ⅰ理科卷12）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若=3，则||=（）

　　A.B. 2C.D. 3

　　3. 设F1，F2为双曲线-y2=1的左、右两焦点，点P在双曲线上，且有∠F1PF2=90°，求△F1PF2面积.

　　4. （2008年福建卷11）双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且PF1=2PF2，则双曲线离心率的取值范围为（）

　　A. （1，3） B. （１，３］

　　C. （3，+∞） D. ［３，+∞）

　　5. （2009全国Ⅱ理科卷11）已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线C于A，B两点，若=4，则双曲线C的离心率为（）

　　A. B. C. D.

　　6. 在一个椭圆中，F1，F2为两焦点，P为椭圆上一点，且恒有PF1⊥PF2，求椭圆离心率的取值范围.

　　7. 已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，求双曲线离心率的取值范围.

　　8. 双曲线-=1（a＞1，b＞0）的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和不小于c，求双曲线离心率的取值范围.

　　9. 双曲线-=1（a＞1，b＞0）与直线y=2x有交点，求双曲线离心率的取值范围.

　　10. 设θ∈0，，求二次曲线x2cotθ-y2tanθ=1的离心率的取值范围.

　　1. B. 2. A. 3. 1. 4. B. 5. A. 6. ≤e≤1. 7. 1＜e≤. 8. ≤e≤. 9. e＞. 10. e＞.