内容提要:本文通过对太极图理论的分析，依据太极阴阳特性呈现的周期性变化规律，合理地选择坐标系和坐标参数，即可用数学形式将太极图描述出来，从而建立太极图的标准数学模型。
关 键 词：太极图 太极阴阳理论 周期变化规律 极坐标系 数学模型

五、      太极图数学模型的应用

太极图数学模型在事物现象研究过程中的应用是相当普遍的，上面的质点匀速圆周运动系统就是其中的一例。下面就太极图数学模型的应用再举几个实例。

1.     月相现象

月相是指月球、地球和太阳三者在太空中相互运动形成的某一状态月光的反射现象。因为三者的相互运动都遵循着特定的规律，所以月相是周期性变化的，其周期取决于月球的公转周期、地球的自转和公转周期。经过长期的观察测定，月相周期为29.53天。月相按朔月、峨嵋月、上弦月、凸月、望月、凸月、下弦月、残月的过程在一个周期内循环一次。月相反映的是月球表面反射太阳光的面积大小，这可以用数学关系式表示。设月球的象视面积为S₀，日照反光面方向与观察方向之间的角度用φ表示，当φ为0（反光面方向与观察方向相同）时月相为朔月，当φ为180度（反光面方向与观察方向相反）时月相为望月，当φ成90度直角时月相为上弦月或下弦月。那么，从朔月（初一）开始月球反光的明亮面积S₊为

S₊ = S₀（1- cosφ) /2  

不反光的阴暗面积S_-为

S_- = S₀（1+ cosφ）/2

用明亮面积S₊、阴暗面积S_-函数在太极坐标系中绘制的图形如图四所示。

图四  月相阴阳太极图

该图旋转180度后与阴阳太极图完全吻合，月球的象视面积S₀为太极系统的和H，明亮面积S₊为太极系统的阳Y₊，阴暗面积S_-为太极系统的阴Y_－。所以，月相告诉我们深藏于现象后面的阴极阳升、阳极阴返的变化规律，我们祖先的阴阳概念思维或许是从月相的观察中得到了启发。

2.     单摆运动

单摆是挂在一根细线下面的可以自由摆动的小球，如图五所示。许多著名的物理学家如伽利略、惠更斯、牛顿等等都对这一系统做过研究。

图五  单摆运动示意图

整个系统的全部质量可认为集中在可看做质点的小球上，为了使它能做任意大幅度的运动，可以把细线换成细棒。细棒的质量、空气的阻力相对较小可忽略。当拉开小球，使它偏离平衡位置，放手后小球受重力与拉力作用，沿着以平衡位置为中心的一段圆弧做往复运动，具有周期性变化规律。

设摆长为l，小球的质量为m相对于小球铅垂位置的角位移为θ，重力加速度为g，那么，单摆的重力势能为

E_p = mgl(1-cosθ)                        

单摆的动能为

E_k = mv²/2                                  

由机械能守恒定律，单摆的总能量为

E＝E_k+ E_p＝mv²/2+ mgl(1-cosθ)＝常量    

由于单摆系统除了受重力与拉力作用外不受其它因素影响，单摆的总能量由初始角位移θ₀确定，当θ=θ₀时单摆的动能为0，所以单摆的总能量为

E＝E_k+ E_p＝mgl(1-cosθ₀)                   

单摆的单位总能量（无量纲）为

H≡E/ mgl＝(1-cosθ₀)＝常量             （5）

单摆的单位动能为

H_k = E_k / mgl＝H-(1-cosθ)                （6）

单摆的单位重力势能为

H_p = E_p / mgl＝1-cosθ                   （7）

当θ₀＝л时，自由单摆的单位总能量为最大H=2，用单位动能H_k、单位重力势能H_p函数在太极坐标系上可绘制出单摆能量变化曲线，如图六所示。

图六  单摆运动能量变化太极图

单摆运动能量变化太极图也是一个古太极图，只不过把太极系统的参数扩大了2倍，即单摆的单位总能量为太极系统的和的2倍，单位重力势能和单位动能也分别为太极阴、阳因子的2倍。

小球在重力作用下由静止状态（具有最大势能）开始摆动，运动产生了动能。随着小球位置的降低，势能渐渐减小，动能渐渐增加。等到小球经过最低位置时单摆能量全部转换为动能，之后，在惯性的作用下小球继续往高的位置运动，动能则慢慢地转换为势能。到达极高点时，小球因动能消失而趋向静止，静止所具有的是最大势能。在势能的作用下，静止之后的小球又向相反的方向恢复运动。单摆动能为阳，势能为阴，小球动静变化形成了单摆阴阳能量的变化，这正是《太极图说》所描述的“太极动而生阳，动极而静，静而生阴，静极复动”现象。

3.     康普顿效应

1922年，美国物理学家康普顿在研究石墨中的电子对X射线的散射时发现，有些散射波的波长比入射波的波长略大，这是光子和电子碰撞时，光子的一些能量转移给了电子。康普顿假设光子和电子、质子这样的实物粒子一样，不仅具有能量，也具有动量，碰撞过程中能量守恒，动量也守恒。按照这个思想列出方程后求出了散射前后的波长差，结果跟实验数据完全符合，这样就证实了他的假设。这种现象叫康普顿效应。

把具有波长λ₀=0.7078埃的钼的特征伦琴线入射在石墨上，被石墨散射在各个方向上的伦琴射线可用X光分光计或摄谱仪来测定。

图七  康普顿效应实验原理图

根据能量守恒和动量守恒，考虑到相对论效应，计算得出散射波长差为：

Δλ=λ-λ₀=（h/m₀c）（1-COSθ）=(2h/m₀c)SIN²(θ/2)

式中：△λ为入射波长λ₀与散射波长λ之差，h为普朗克常数，c为光速，m₀为电子的静止质量，θ为散射角。

h、c和m₀都是已知的常量，因而可以算出h/m₀c的值为0.024265埃。

实验结果表明，Δλ只与测量方向相关，h/m₀c确实是一个常量，当散射角θ=90度时，其值为0.024263089埃，测量值与理论值相当吻合。h/m₀c称为康普顿波长。

从上式可知，波长的改变决定于θ，与入射波长λ₀无关，即对于某一角度，波长改变的绝对值是一定的。这一特性与月相现象具有相似之处。月相现象表明的是月球反射光的面积，光亮面积的大小取决于月球本身的视面积和反光面与观察者之间形成的角度。当光子照射电子时，电子表面反射的光子散射波长差Δλ取决于康普顿波长和反射光面与观测方向之间的角度。因此，散射波长差Δλ含有太极因子（1-COSθ）/2，可以用太极坐标系的图形表示。康普顿效应太极系统的和H为2h/m₀c。太极图中间的曲线方程为Δλ=（h/m₀c）（1-COSθ）。图中白色区域内的极径长度就是与此散射角相对应的散射波长差Δλ。

图八   康普顿效应太极图

六、      结束语

从以上天文现象、物理现象、微观现象的具体应用表述来看，用太极阴阳系统观、整体观建立起来的太极图数学模型完全具备了现代科学理论的功能。与其它西方认识论、方法论相比较，中国的传统文化采用了一种独特的思维方式，即用整体系统的理念从事物表象的两个不同的方面（角度）进行观察，构建出一套太极阴阳系统推测演示方法，并用特殊的空间坐标概念绘制出与数学模型相对应的几何曲线，能够简洁明了地表达出事物发展变化的运动规律以及变化过程中各个状态。太极图数学模型的发现和建立，标志着中国古代哲学已经向现代科学迈进，中国文化已经与西方文化融合，一个用太极图理论研究宇宙世界、天地万物的新时代即将到来。