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内容提要:本文通过对太极因子特性以及相互作用的分析，揭示出一组太极因子的交感作用可以产生一个新系统的阴因子或阳因子，由此推断一个新系统的太极因子需要上一个系统的两组太极因子的相互作用产生，而上一个系统的两组太极因子则需要上上个系统的四组太极因子相互作用产生。一组太极因子为阴阳两种状态即两仪。一个系统的两组太极因子具有四种状态即四象，一个系统的四组太极因子具有八种状态即八卦。从而发现一个太极系统各层次阴阳因子相互作用的关系，归纳得到一组描述太极因子的数学函数通用表达式，用系统观察角与易经卦象建立对应关系，由此演绎出先天八卦图和先天六十四卦图，揭示出太极图所蕴藏的万物生生不息、循环不止的变化规律。
关 键 词：太极因子、太极因子作用、数学表达式、太极图、先天卦图
一、 太极因子的特性
在《论太极因子》一文中,作者对太极因子的特性以及太极因子间的相互作用进行了详细的分析讨论。太极因子即阴因子和阳因子是组成太极系统的基本要素，太极因子能够从数学角度全面完整地反映自古以来用文字描述的太极阴阳理论，包括阴阳周期变化、阴阳对立统一、阴阳消长转化、阴阳极点转换、阴阳单调变化等等特性。太极因子的相互作用更是从物理角度帮助我们对太极系统有了一个全新的了解。太极因子的和合作用、差合作用让我们认清了物质存在的两种形态：物质和波。这种有形的和无形的存在方式与哲学意义上无与有、形而上或形而下概念具有相同的特征，有待于我们进一步探讨。本文着重要分析讨论的是太极因子的交合作用。太极因子的交合作用会产生一个新系统的太极因子，如果这一特性能够得到确认，这将是打开生命科学的一扇智慧之门。那么，太极因子的交合作用到底蕴藏着什么样的奥秘呢？
在探讨太极因子的交合作用之前，我们有必要对太极系统概念重新进行阐述。太极系统是一个周期性变化的整体系统，当系统处于稳定平衡状态时，系统的变化周期是固定不变的。或者说，处于稳定平衡状态的太极系统的内部质点，都是按一定的角速度运动的。因此，如果出现了不同的变化周期或角速度时，这些质点可以认为它们具有自己的太极系统。
如地球绕太阳公转组成地日系统，而地球自转又可以形成独自地月系统。当著名的科学家牛顿用三棱镜把太阳光分解成7种颜色的连续光谱后，说明不同颜色的光具有各自不同的运动频率。后来光被爱因斯坦定义为光子，是一份一份独立的粒子系统。
图一 表的计时系统
这个观点可以用时钟系统来解释。时钟系统由时针、分针和秒针组成。时针、分针和秒针运动的角速度是不同的，时针以十二小时、分针以六十分钟为周期，而秒针以六十秒钟为周期，所以它们具有独立性，可以分别用时针系统、分针系统和秒针系统来表述。钟表设计师可以据此设计出同轴的和非同轴的各种表类，如图一所示。
三角函数Y=sinθ和Y=sin2θ对于变量θ也有不同的周期，它们可以被认定为是两个不同的系统。这一点用雷达图绘制的两个图形可充分表现出来，如图二所示。
图二 用函数 sinθ和sin2θ绘制的雷达图
当雷达坐标系用φ（φ=2θ）作为一个周期时， Y=sinφ函数的图形就与图二左边一致。也就是说Y=sinθ和Y=sinφ以各自的变量表现出相同的图形，两个系统可以是相互独立的，也可以是相互关联的系统。
虽然太极系统是由阴和阳两个特性组成的，由于阴和阳是变化的，太极系统状态也会随观察情况发生变化。根据太极系统的概念，组成太极系统的阴阳因子也有可能是其它系统的子系统。
二、 太极因子的交合作用
太极因子就是阴因子和阳因子。阴阳因子的数学表达式为
Y- =(1-cosθ)/2 （1）
Y+ =(1+cosθ)/2 （2）
太极因子的相互作用就是阴因子和阳因子的相互作用。太极因子的相互作用分为和合作用、差合作用、交合作用。
阴阳交合作用是指太极系统内阴阳两个因子的相互交感现象。相互交感作用的结果为
H = Y+ • Y- （3）
当系统处于稳定的平衡状态时，用（1）（2）代入上式，可得
H =（（1+cosθ）/2）•（（1-cosθ）/2）
H =（1- cos2θ）/4
H =（sin2θ）/4 （4）
由三角函数的转换公式 sin2θ=（1-cos2θ）/2，并设φ=2θ，则上式为
H =（（1-cosφ）/2）/4 （5）
按照太极系统的概念，（5）式表示的是一个以φ为观察角的与原系统不同的太极系统的阴因子。为了与原太极系统相区分，我们把新的太极系统的阴因子表示为
YY- =（1-cosφ）/2 （6）
我们将（3）（5）（4）（6）组合一起，可得
Y+ • Y- =（ YY- ）/4 （7）
上式表明，太极系统的阴阳因子其交合作用会产生另一太极系统的阴因子。
同理，如果阴阳因子的状态为Y- =(1-sinθ)/2和Y+ =(1+sinθ)/2时，其交合作用的结果为
Y+ • Y- =（(1-sinθ)/2）•（(1+sinθ)/2）=（1- sin 2θ）/4
=（cos 2θ）/4 =（（1+cosφ）/2）/4
式中（1+cosφ）/2为新系统的阳因子，我们把新的太极系统的阳因子表示为
YY+ =（1+cosφ）/2 （8）
将（8）代入交合作用的结果Y+ • Y- 中，可得
Y+ • Y- =（ YY+ ）/4 （9）
以此相推，新的太极系统同样可以产生阴阳因子YY- 和YY+ 的交合作用，其结果可得到一个以ψ = 2φ（ψ =4θ）为观察角的另一个新太极系统的阴因子
YYY- =（1-cosψ）/2 （10）
如果新的太极系统阴阳因子用另一组YY- =(1-sinφ)/2和YY+ =(1+sinφ)/2替代时，其交合作用的结果产生了一个以ψ = 2φ（ψ =4θ）为观察角的另一个新太极系统的阳因子
YYY+ =（1+cosψ）/2 （11）
阴阳因子发生相互交感的现象在自然界中随处可见。植物在开花过程中通过花粉的传授来结果繁殖，动物则通过雌雄交配来繁殖，人类本身就是通过男女交合来繁衍子孙后代。阴阳因子相互交合会产生一个新系统，这一过程可以不断延续，因此，用太极因子组成的太极阴阳理论深刻阐明了宇宙万物生生不息、繁衍不止的自然哲学原理。
三、 太极因子与八卦的关系
根据太极阴阳因子交合作用的现象，可以将由多个系统形成的系统描述为树系统。整个系统演变过程可以从树叶开始，由树叶吸收阳光能量，然后汇集到树枝，最后全部集中到树干。在树干系统我们用观察角为ψ表述，这个系统只有一组阴阳因子即一个阴因子和一个阳因子，分别用符号YYY- 和YYY+表示。
形成树干的上一级系统是树枝系统。树枝系统的观察角为φ，有两组太极阴阳因子组成，分别用符号YY1- 、YY1+和YY2- 、YY2+表示。
形成树枝的上一级系统是树叶系统。树叶系统的观察角为θ，有四组太极阴阳因子组成，分别用符号Y1- 、Y1+、Y2- 、Y2+、Y3- 、Y3+、Y4- 、Y4+表示。
如果树干、树枝、树叶各系统的和合体分别用H（1）、H（2）、H（3）表示，那么它们之间的幅值有如下关系：
H（3） = 4 H（2）= 16 H（1）
而各系统的观察角之间的关系则为
ψ = 2 φ = 4 θ
由各系统交合作用的演变过程可以得知阴阳因子的表达式：
YYY- =（1-cosψ）/2 （12）
YYY+ =（1+cosψ）/2 （13）
YY1- =（1-cosφ）/2 （14）
YY1+ =（1+cosφ）/2 （15）
YY2- =（1-sinφ）/2 （16）
YY2+ =（1+sinφ）/2 （17）
Y1- =（1-cosθ）/2 （18）
Y1+ =（1+cosθ）/2 （19）
Y2- =（1-sinθ）/2 （20）
Y2+ =（1+sinθ）/2 （21）
从阴阳因子的交合作用我们知道，由（14）（15）产生（12），由（16）（17）产生（13），而（14）由（18）（19）产生，（15）由（20）（21）产生，那么（16）（17）是怎么产生的呢？
也就是说，现在还不能确定因子Y3- 、Y3+、Y4- 、Y4+ 的关系式，也就不知道它们是如何演化出YY2- =（1-sinφ）/2和YY2+ =（1+sinφ）/2。我们不妨通过三角恒等变换来解决这一问题。
设Y = 1-sinφ 且φ=2θ，则在观察角为θ的系统中有
Y = 1-2sinθcosθ=（sinθ-cosθ）2
= 2 sin2（θ-л/4）
= 2（（1-cos（θ-л/4））·（（1+cos（θ-л/4））
同理，设Y = 1+sinφ且φ=2θ，则在观察角为θ的系统中有
Y = 1+2sinθcosθ=（sinθ+cosθ）2
= 2 sin2（θ+л/4）
= 2（（1-cos（θ+л/4））·（（1+cos（θ+л/4））
我们把Y = 1-sinφ与Y = 1+sinφ看作是阴因子和阳因子交合作用的结果时，可得
Y3- =（1-cos（θ-л/4））/2 （22）
Y3+ =（1+cos（θ-л/4））/2 （23）
Y4- =（1+cos（θ+л/4））/2 （24）
Y4+ =（1-cos（θ+л/4））/2 （25）
如果我们对（12）至（25）用三角函数的诱导公式进行变换，所有的阴阳因子都可表示为观察角的余弦函数：
YYY- =（1+cos（ψ-л））/2 （26）
YYY+ =（1+cosψ）/2 （27）
YY1- =（1+cos（φ-л））/2 （27）
YY1+ =（1+cosφ）/2 （29）
YY2- =（1+cos（φ-3л/2））/2 （30）
YY2+ =（1+cos（φ-л/2））/2 （31）
Y1- =（1+cos（θ-л））/2 （32）
Y1+ =（1+cosθ）/2 （33）
Y2- =（1+cos（θ-3л/2））/2 （34）
Y2+ =（1+cos（θ-л/2））/2 （35）
Y3- =（1+cos（θ-5л/4））/2 （36）
Y3+ =（1+cos（θ-л/4））/2 （37）
Y4- =（1+cos（θ-7л/4））/2 （38）
Y4+ =（1+cos（θ-3л/4））/2 （39）
综合分析树系统阴阳因子的数学表达式，分别以ψ、φ、θ为观察角的系统阴阳因子数目为2、4、8，而2、4、8表示的阴阳因子数恰好可以与太极系统的两仪、四象、八卦各层次相对应。也就是说，不同的观察角可以对应不同的太极层次。八卦层次的8个阴阳因子两两对应发生交合作用后产生四象层次4个阴阳因子，四象层次的4个阴阳因子两两对应发生交合作用后产生两仪层次2个阴阳因子，两仪层次的2个阴阳因子即一组阴阳因子可以形成一个太极图（详见《论太极因子》一文）。
为了方便以后对太极系统的科学探讨和研究，我们把太极各层次的阳阴因子统称为太极因子。对于每个太极层次的阳阴因子可用一个太极因子通式概括表示：
Y = （1+cos（θ- 2nл/N））/2 （40）
式中：θ表示系统所处的太极层次的观察角。
θ-2nл/N为太极层次各太极因子的观察角
N为正整数，表示太极系统所处的层次，N=2为两仪，N=4为四象，N=8为八卦。
n为太极因子的序数，n为小于N的自然数，即n<N 。
当N=2系统为两仪层次时，n取0，1；
当N=4系统为四象层次时，n取0，1，2，3；
当N=8系统为八卦层次时，n取0，1，2，3，4，5，6，7。
由（40）太极因子通式表示各个层次太极因子的具体情况，可以用表格归纳如下：
表1 不同层次的太极因子
|
层次
|
系数N
|
系数n
|
符号
|
观察角
|
太极因子
|
|
两仪
|
2
|
0
|
YYY+
|
θ
|
（1+cosθ）/2
|
|
1
|
YYY-
|
θ-л
|
（1+cos（θ-л））/2
|
||
|
四象
|
4
|
0
|
YY1+
|
θ
|
（1+cosθ）/2
|
|
1
|
YY2+
|
θ-л/2
|
（1+cos（θ-л/2））/2
|
||
|
2
|
YY1-
|
θ-л
|
（1+cos（θ-л））/2
|
||
|
3
|
YY2-
|
θ-3л/2
|
（1+cos（θ-3л/2））/2
|
||
|
八卦
|
8
|
0
|
Y1+
|
θ
|
（1+cosθ）/2
|
|
1
|
Y3+
|
θ-л/4
|
（1+cos（θ-л/4））/2
|
||
|
2
|
Y2+
|
θ-л/2
|
（1+cos（θ-л/2））/2
|
||
|
3
|
Y4+
|
θ-3л/4
|
（1+cos（θ-3л/4））/2
|
||
|
4
|
Y1-
|
θ-л
|
（1+cos（θ-л））/2
|
||
|
5
|
Y3-
|
θ-5л/4
|
（1+cos（θ-5л/4））/2
|
||
|
6
|
Y2-
|
θ-3л/2
|
（1+cos（θ-3л/2））/2
|
||
|
7
|
Y4-
|
θ-7л/4
|
（1+cos（θ-7л/4））/2
|
由上表可知，要获取两仪层次的太极因子，它上端的一个层次至少在八个均布的角度上存在可观察到的现象。用由独生子女组成的现代家庭可以形象说明这一现象。独生子女家庭是一个太极系统的两仪层次，它的上一个层次为父母（公婆、岳父岳母）有四位，再上一个层次为祖父祖母（外祖父外祖母）辈应该有八位。也就是说，只有存在八个太极因子即四组两两对应阴阳因子（祖辈）时，才可能出现四个太极因子即二组两两对应阴阳因子（父辈），然后才可能出现一个由二个太极因子即一组阴阳因子组成的家庭。
图三 独生子女家庭的组合
独生子女家庭的组合方式形象说明了太极系统由八卦产生四象、再由四象产生两仪的演变过程。如果分别用符号Y、YY、YYY表示的八卦、四象、两仪层次的太极因子，反映太极系统的演变即太极因子交合作用的过程可以如图四表示。
图四 太极系统的演变
由上述分析可知，两仪层次有一组太极因子，可与《易经》中的阴、阳对应。四象层次有二组太极因子，可与《易经》中的太阴、太阳、少阴、少阳对应。八卦层次有四组太极因子，可与《易经》中的八卦乾、巽、坎、艮、坤、震、离、兑即四组卦象（乾、坤）、（巽、震）、（坎、离）、（艮、兑）相对应。由太极因子通式可知，每个层次的阳因子或阴因子都具有对应的观察角，而且每一组太极因子的阴因子与阳因子互成180°，并可以用相互和合作用、差合作用形成的两仪图表示，因此，可按照各层次包含的太极因子组数绘制图形，如图五所示。
两仪 四象 八卦
图五 太极系统的层次
太极系统中太极因子之间的交合作用则表明系统层次之间的转变。太极系统由八卦层次的八个太极因子转化为四象层次的四个太极因子，然后再转化为两仪层次的二个太极因子。这个过程可用三个不同层次图形的嵌套表现，如图六所示。
当八卦层次的八个方位的太极因子分别用乾、巽、坎、艮、坤、震、离、兑八个卦名和卦象表示时，其图形转换成由卦象符号与包含四象、两仪层次的组合图形。而四象、两仪层次之间的演变可以用太极图表现。这样太极系统三个不同层次的嵌套图形就可以由内外两部分组成，外部为八卦符号体系，内部为太极图。一个太极八卦图由此形成，如图七所示。
图六 太极系统的内部转化 图七 太极八卦图
图七已被宋代著名哲学家、数学家、易学家邵雍定义为先天太极八卦图，也称之为伏羲太极八卦图。图中的卦象与太极坐标系的方位（顺时针方向）具有一一对应关系，如表2所示。这一卦序正如《说卦传》中所说的“天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射；八卦相错，数往者顺，知来者逆，是故《易》逆数也。”八卦与自然现象相对应，天为乾、地为坤、山为艮、泽为兑、雷为震、风为巽、水为坎、火为离，它们各自相对而立，形成乾坤、艮兑、震巽、坎离四组阴阳卦象。“往”表示过去，“来”表示未来，那么“数往者顺”可解释为悉数过去的现象是用顺时针方向，“知来者逆”可解释为要知道未来的现象是按逆时针方向。所以太极图有顺时针和逆时针两个方向的表现形式。
表2 太极因子与八卦卦象的对应关系
根据太极因子通式Y=（1+cos（θ-2nл/N））/2，我们很容易对更为复杂的太极系统进行演绎。常数N表示太极系统所处的层次。当N为16时系统处于十六卦层次，当N为32时系统处于三十二卦层次，当N为64时系统处于六十四卦层次，…。应用太极因子相互作用可以生成新系统太极因子的原理，当系统处于六十四卦层次时，六十四个卦象所表征的太极因子相互作用可以转化为三十二卦层次。三十二卦层次太极因子相互作用可以转化为十六卦层次，十六卦层次太极因子相互作用可以转化为八卦层次，八卦层次又可以继续转化为四象、两仪层次，最终转化为太极。
由于系数n是一个自然序数，当N=64系统处于六十四卦层次时，观察角θ-2nл/N有64个数值，我们同样可以运用卦象与太极因子一一对应的方法，将六十四个卦象分别与每个观察角的太极因子相对应，并由表3列出。
表3 太极因子与六十四卦象的对应关系
图八 六十四卦图
依据表3，我们同样可绘制出六十四卦太极图（图八）。图形仍然由两部分组成，外部为六十四卦卦象，按照观察角（方位）大小次序均布在周边，内部为太极图，表征着太极系统中上下相连的两个层次之间太极因子相互作用和转化。此图便是邵雍命名的先天六十四卦图，即伏羲六十四卦图。
四、 结语
现在，我们终于明白了爱因斯坦在1953 年他临终前写给美国 J•E 斯威策的复信中说道：“西文科学是以两个伟大成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系，以及通过系统的实验发现有可能找出的因果关系。然而，在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的。而令人惊奇的倒是这些发现在中国全部都做出来了。”太极图是我们古代圣贤的智慧凝聚，是天地万物的演化模型，是宇宙世界的自然运动规律的总体概括，是一套完整的哲学理论体系。通过对太极因子相互作用的分析描述，我们发现了太极图与八卦、六十四卦卦象有着神妙的联系，太极图反映了卦象所对应的太极因子之间相互和合、差合以及交感作用，而卦象则是真实反映了太极系统中某一观察角事物运动变化的状态特性。我们的祖先用太极图明确地归纳并揭示了他们在长期的社会活动和生活过程中所积累的丰富经验和聪明才智，因此，我们可以将太极图理论应用到社会活动的各个领域中去。不过让我们遗憾的是，我们的祖先省略了中间参悟推导过程，没有发明三角函数进行逻辑演绎或实验证实，这些结果让人们产生怀疑而不知所措。现在我们运用西方科学，在月相演变的观察分析过程中，发现了一组被人们长期弃之不用的独特的三角函数——太极因子，并构建一个全新的太极坐标系，从而揭开了二千多年来披在太极八卦图上的神秘外衣。先天八卦图和先天六十四卦图的外部卦象反映了太极系统的所处层次，内部太极图则揭示出太极系统中太极因子的相互作用关系，也反映出万物生生不息、循环不止的变化规律。从此，太极八卦图这个古老而神奇的中华民族瑰宝将开始绽放出金色的光芒。
参考文献：
1.《太极图的数学模型探讨》《邵雍诞辰1000周年国际学术研讨会会议学术论文集》第96页至104页北京三式乾坤信息技术研究院2011年11月编印
2．《月相的太极图演变规律探讨》《第14回世界易经大会暨第22届周易与现代化国际讨论会论文集》2011年9月出版
3.《太极坐标系》《邵雍诞辰1000周年国际学术研讨会会议学术论文集》第105页至110页北京三式乾坤信息技术研究院2011年11月编印
4.《易经求正解》郭扬著，广西人民出版社1990年8月出版
5.《论太极因子》《2014海峡两岸周易学术论坛暨第二十五届周易与现代化国际讨论会论文集》2014年8月出版
6.《数学4》（普通高中课程标准实验教科书 必修A版）人民教育出版社等编著并出版2007年2月第2版2009年7月浙江第7次印刷