上一文中我们从玻尔原子理论推导出，所有氢原子量子轨道能差和光谱频率都可以用太极因子的数学方式表现，具体公式如下：

 

式中：ν为氢原子光谱频率，h为普朗克常数，E_n和E₁是原子在两个稳定态的能量值，n、k为自然数，φ和θ为氢原子光谱太极图观察角。

当n =1时，表现为物理学家西奥多•莱曼（Theodore Lyman）1914年发现的莱曼线系；

当n =2时，表现为瑞士数学教师约翰•雅各布•巴尔未（J.J.Balmer）1885年发现氢原子可见光波段的巴尔末线系。

当n =3时，表现为德国物理学家弗里德里希•帕邢（Friedrich Paschen）1908年发现的氢原子光谱帕邢线系。

当n =4时，表现为弗雷德里克•萨姆那•布拉克（ Frederick Sumner Brackett）1922年发现的氢原子光谱布拉克线系，位于红外光波段。

当n =5时，表现为物理学家奥古斯特•赫尔曼•蒲芬德（ August Herman Pfund）1924年发现的氢原子光谱蒲芬德线系。

当n =6时，表现为科斯蒂·汉弗莱（Curtis J. Humphreys）1953年发现的氢原子光谱汉弗莱线系。

 

 

用上述数学公式我们可以绘制出所有氢原子能差或光谱太极图，玻尔氢原子模型可以用太极图表现，从而证实了玻尔的“互补原理”的科学性，同时也确立了玻尔和玻尔理论与太极图之间的关系。

我们从表一中列出的数据可以看出，玻尔氢原子模型中的量子数n、k不再反映出原子的真实轨道，而只是象征量子轨道的抽象的概念，氢原子光谱也不再需要两个运动轨道之间的“跃迁”。氢原子每个系列的光谱完全可以从一个固有的轨道产生，氢原子发光只取决于电子绕核运动相对位置和能量状态，即取决于系统的观察角度φ和θ和电子的能态E_n。而量子n、k仅仅是观察角度抽象参数。

因此，用太极因子表示的氢原子模型是建立在数学基础上的量子轨道模型，氢原子光谱频率的大小由系统的观察角度和发光前的电子能量确定。正因为有“跃迁”的感觉，是由于氢原子这种独特的内部结构即只有一个电子绕着一个质子的原子核运动，不同量子轨道的电子能量与量子数的平方成反比关系。引入系统观察角之后，我们自然要从整体上去观察氢原子系统。氢原子产生光谱的原因不可能只是电子自身的运动结果，它应该是氢原子整体运动的结果。在外部环境稳定的状态下氢原子发出光谱，应该是氢原子中的质子与电子相互作用的产物。这一点同样可以用量子轨道的几何性质进行解释。我们仍然按玻尔设想的那样，先假设氢原子中的电子是绕核作圆周运动的，用直角平面坐标表示，质子位于原点，电子位于以原点为中心的一个圆周上，如图一所示。

图一   氢原子发光原理图

当电子处于一个发光的位置时用直线将电子与质子连接起来，并将此线段向电子外部延伸。这样，我们得到了一个角，即直线与X轴组成的夹角，用θ表示。因为电磁作用是以光子传递的，如果从质子沿直线方向发出一粒光子，与运行在某一轨道上的电子相互碰撞后反射出去，其反射的角度从Y方向观察恰好是2θ，即φ=2θ。碰撞的结果让电子获得一个能量，这就可以说明氢原子光谱的来源，也就是电子吸收能量的过程。获得能量后的电子会突然偏离原来的平衡位置。按照麦克斯韦电磁学理论，带电物体运动状态的改变，会对周围产生电磁波。当然，这个电磁波也会以光子的方式传递出去。质子不断地与电子相互作用，这个过程也会连续地维持下去。这样我们在外部就观察到一个恒定的氢原子光谱。

那么，氢原子光谱果真是这样的吗？这是一个大胆的猜测。因为我们发现了一个秘密,在上一文中，经过用三角函数的进一步演绎，玻尔氢原子模型的光谱能量和频率的数学公式中包含了一个太极因子。而我们在《太极图的数学模型探讨》一文中也已经对康普顿效应进行过分析，当光子和电子碰撞产生散射时散射前后的波长差同样包含了一个太极因子。太极因子将两个看起来没有一点关系的数学物理公式归属到了一个认知范畴，即光的吸收和发射。

美国物理学家康普顿的散射实验，证实了光子和电子、质子这样的实物粒子一样，不仅具有能量，也具有动量，碰撞过程中能量守恒，动量也守恒。光子和电子碰撞时，光子的一些能量转移给了电子，使得散射波的波长比入射波的波长略大。

图二   康普顿光散射实验示意图

康普顿根据能量守恒和动量守恒，考虑到相对论效应，计算得出的结果与实验值相当吻合，散射波长差为：

式中：Δλ为入射波长λ₀与散射波长λ之差，h为普朗克常数，c为光速，m₀为电子的静止质量，φ为散射角，φ=2θ。

比较式（1）、（2）与（3）可以发现，无论是玻尔原子模型的光谱能量、频率，还是康普顿效应的散射波长差都是与观察角有关系的。观察的角度不同，观察的结果不一样。也就是说光谱能量、频率和散射波长差计算的结果取决于观察的角度。康普顿效应中φ为散射角，而玻尔原子模型φ则为反射角。与康普顿效应不同的是，玻尔原子模型和电子碰撞的光子来自于原子核中的质子，而不是外部的光源。

既然康普顿效应中散射前后形成波长差，那么，光子和电子的碰撞时，光子的一部分能量转移给了电子，用普朗克光子的能量公式ε=hv和频率与波长的转换公式v =c/λ可以计算光子与电子之间转移的能量以及这部分能量所产生的光子的频率。

 

式中ΔE为射入光子与电子之间转移的能量，Δv为电子吸收能量所产生的光子频率，v₀为入射前的光子频率，v为散射后的光子频率，λ₀为入射前的光子波长，λ为入射后的光子波长，h为普朗克常数，c为光速，m₀为电子的静止质量，φ为散射角，为康普顿波长，用λ_c表示，即。

（5）式可简化为：

因h、c、m₀都为常数，可计算出康普顿波长λ_c =0.024265埃。这是一个较小的波长，当入射光子的波长λ₀远远大于康普顿波长λ_c，即λ₀  >>λ_c 时，光子与电子之间转移的能量所产生的新光子的频率则可以进一步简化为：

此时此刻，我们惊奇地发现，上述表达式与玻尔氢原子模型光谱频率计算式（2）有着非常相似的结构形式。用康普顿实验散射前后波长差演变的电子吸收能量频率表现形式，似乎就是我们要花巨大的神气去探索的玻尔氢原子模型背后所隐藏的真实的物理意义——氢原子光谱的“跃迁”是由氢原子内质子与电子的相互作用引起的。因此，玻尔的氢原子理论实际上就是入射光子波长远远大于康普顿波长时的康普顿效应的一种特殊表现形式。

对于同一轨道，氢原子中电子的吸收能量与辐射能量应该是等效的，即发光光谱的频率等于吸收能量的光子频率，假设在同一观察角观察时，有

由玻尔氢原子模型计算可知，第n个量子轨道的电子能量为

第n个量子轨道辐射光谱的最大频率为

由（8）（9）（10）式和可得

对应于不同量子轨道的最大光谱频率v_n和相应的波长λ_n，可以计算出入射光子即原子核辐射光子的波长。如果要发出巴尔末线系光谱v_n =821.92×10¹² Hz，所需入射光子的波长λ₀为1.3304×10^-9m即13.304埃。氢原子各量子轨道最大光谱频率和相应的波长与入射光波长之间的关系如表二。

 

表二   氢原子各量子轨道最大光谱频率和相应的波长与入射光波长之间的关系

 

由表中数据可知，只要氢原子核向绕核电子辐射出波长为6.647埃至39.882埃之间的光，就足以让电子得到辐射各系列光谱的光所需要的能量。玻尔氢原子理论只是康普顿散射效应过程中的一种特殊情况，即入射光的波长远远大于康普顿波长时情况。当入射光的波长与康普顿波长比较接近时，散射过程中电子获得的能量其频率只能用（5）式或（6）式计算，相应电子辐射光谱的频率不再服从太极因子变化规律。这就是玻尔氢原子模型中存在类似于椭圆轨道的原因。

由康普顿散射效应演变后的玻尔氢原子理论还有一种现象可以得到解释，那就是绕电子数比较多时玻尔光谱频率公式就不能应用或者说计算结果误差偏大，哪怕是仅仅多出一个电子的氦原子。这是因为电子数增加时，原子核内的质子数和中子数也增加，这时原子核对电子发出散射作用的入射光波长的范围将发生变化，同时内部还受到其它绕核运动电子的干扰。

至于氢原子光谱为什么是分立的而不是连续的，我们只要用日出日没、月缺月圆现象并可以解释清楚。如我们观察月亮时发现其发光的面积计算公式中含有太极因子，我们不可能连续看到月亮发光面积的变化情况，而是一个月内间断地看见约有29种不同的月相。月光现象不是单独的月亮绕地球运动或地球绕太阳运动，而是月、地、日三者的有机整体组合，其中还包括观察者的观察位置。因此，电子绕原子核运动也不是简单的圆周运动，我们能观察到原子发光现象，本身就离不开观察者的位置即观察角度，更重要的一点电子自身还在自旋，电子的自旋数为1/2，需要转两周才能观察到与原来相同的状态。所以，只有在轨道上自旋的电子与来自原子核的光子达到整步的时候，才可能发生散射现象，即吸收部分光子能量，然后又将这部分能量辐射出去。

以上通过运用三角函数的数学方法，我们成功地在玻尔氢原子理论中找到太极因子，并进一步与康普顿散射效应进行分析，发现了原子中电子发生散射的同时还吸收了部分入射光的能量，使入射光散射后的波长加大。我们将电子发生散射时吸收的能量与电子在绕原子核轨道“跃迁”时产生的光谱能量作比较，认为电子散射与“跃迁”时恰好是电子的吸收和辐射能量的相互转换的过程，在入射光波长较大的情况下，玻尔氢原子光谱现象等效于康普顿散射效应。于是原子光谱现象得到了完美的量子物理意义上的解释。

一个世纪前，玻尔发现了氢原子光谱理论，他为人类开创了量子理论的先河。在他去逝的五十年之后，我们找到了他的互补原理的真正含义，确定了氢光谱与太极图之间的关系，让原子模型重新回到了电子绕原子核作圆周运动的正确轨道上。

玻尔与太极图，这一古老和现代、东方和西方、科学和哲学的完美互补，让我们赞叹玻尔智慧的深邃和伟大的同时，更让我们赞叹中国古老传统文化的神奇和不朽。