一、日晷的概念探讨
“晷”，影的意思，“日晷”即日影。从字形上可以理解为，“晷”是太阳照射针杆在平（盘）面上的投影。《周髀算经》中有：“日中立竿测影。……周髀长八尺（2米）。夏至之日晷一尺六寸。” “髀”，人体大腿直立骨骼。“周髀”，古时候用于测量日影的标竿。用八尺长的标竿竖起来测量太阳中午照射的影子，夏至那天影子的长度为一尺六寸（0.4米）。立竿测影的方法既简便、实用又准确、可靠，为我国古代天文观察所广泛应用。依据不同的节气有不同的日影长度这一原理，我们祖先制作出度量日影长度的天文仪器——圭表。圭表由“圭”和“表”两个部件组成。直立于平地上测日影的标杆和石柱，叫做表，相当于《周髀算经》中的“髀”；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫做圭。
随着季节的变化，太阳东出西没的方位和正午的高度不同，圭表形成的日晷也就不同。我们祖先通过长年累月对日晷的观察、测量、比较，判断出日月星辰的运行存在规律，计算出日、月、年的变化周期，制定出指导农耕的天文历法。
本文通过对《周髀算经》所记载的日晷长度数据的分析和研究，进一步探讨日晷的周期变化规律，试图寻找从日晷演化出太极图的可能性。
二、《周髀算经》中有关日晷的记载
最早的日晷记载可以在《周髀算经》中找到，我们祖先立八尺表，对一年二十四个节气日中的日晷进行观测并作如下记录：
“冬至晷长丈三尺五寸。小寒丈二尺五寸。大寒丈一尺五寸一分。立春丈五寸二分。雨水九尺五寸三分。惊蛰八尺五寸四分。春分七尺五寸五分。清明六尺五寸五分。谷雨五尺五寸六分。立夏四尺五寸七分。小满三尺五寸八分。芒种二尺五寸九分。夏至一尺六寸。小暑二尺五寸九分。大暑三尺五寸八分。立秋四尺五寸七分。处暑五尺五寸六分。白露六尺五寸五分。秋分七尺五寸五分。寒露八尺五寸四分。霜降九尺五寸三分。立冬丈五寸二分。小雪丈一尺五寸一分。大雪丈二尺五寸。”
丈、尺、寸、分是我国古代的长度计量单位。它们之间的关系为一丈等于十尺，一尺等于十寸，一寸等于十分。此类长度计量单位与现代长度计量单位是有区别的，换算结果古代的一丈相当于现代的二米五十分米（2.5米）。一年中各个节气的日晷长度如表一所示。
表一 二十四个节气日晷长度表
三、日晷的图形绘制
根据二十四个节气日晷长度表，可以绘制出日晷的平面坐标图，图中横坐标表示节气，数字从1至25表示从冬至、小寒、大寒一直到小雪、大雪，再返回到冬至。纵坐标表示日晷长度，冬至的日晷最长为3.3750米，夏至的日晷最短为0.40米，如图一所示。
图一 二十四个节气日晷平面坐标图
为了体现日晷的重复性周期性，可采用极坐标系统更能表现日晷真实情况，因为一年二十四个节气刚好地球绕太阳运行一周。因极坐标中的极角是取逆时针为正方向，这与日晷移动的方向不一致，故选用按顺时针方向绘图的雷达坐标系统，同时考虑日晷的东南西北方位，与观察效果吻合。按照表一的数据可以绘制出二十四个节气日晷雷达坐标图，如图二所示。图中内圆为夏至最短的日晷图，外圆为冬至最长的日晷图。中间“心”形曲线就是二十四个节气日晷图。
图二 二十四个节气日晷雷达坐标图
四、日晷观测点纬度的计算
按照《周髀算经》记载的数据如表一所示，可以推算出日晷观测点的地理纬度。冬至日晷长度L1=3.3750米，夏至日晷长度L2=0.40米，表长L=2米。设冬至表杆投影角为θ1，夏至表杆投影角为θ2，表长、日晷长度与投影角之间的关系式如下：
L1 = L tan(θ1) (1)
L2 = L tan(θ2) (2)
将观测数据代入计算可得：
θ1 ≈ 59.3492°
θ2 ≈ 11.3099°
日晷观测点的地理纬度φ为
φ=（θ1+θ2）/2 ≈ 35.33°
赤道与黄道的交角ε为
ε=（θ1-θ2）/2 ≈ 24.02°
图三 圭表测影示意图
因为《周髀算经》中没有标明“日中立竿测影”的确切地点，我们只有通过数据计算作推测，日晷观测点在纬度大约35.33°左右的地方。
地球自转产生的赤道面与地球公转产生的黄道面之间的夹角为黄赤交角，黄赤交角目前为23°26′。经过人们长期观测发现，随着地球在太空中位置的改变，黄赤交角也在发生微小的改变，慢慢往减小的方向变化，这与计算的结果24.02°也相当一致，误差仅为35′。
从圭表测影示意图（图三）可以清楚地看出，日中日晷长度的变化是由赤道与黄道的交角ε引起的，所以说，地球黄赤交角的存在是形成春夏秋冬季节变化的根本原因。
五、赤道日晷的图形绘制
所谓赤道日晷有两个概念：一是指放置于地球赤道地理位置上的圭表，二是形成日晷的表在春分和秋分的正午时刻指向太阳，圭面与地平面成日晷观测点的地理纬度大小的交角。赤道日晷最大特点是春分和秋分的正午时刻，日晷长度为零（无影），随着太阳的南北偏离，日晷长度越来越长，到了南或北回归线的时候即处于冬至或夏至的正午时刻日晷长度最长，尔后日晷长度向相反的运动变化。赤道日晷测得的日晷长度随节气变化的极坐标图形是一个“8”字形。按照《周髀算经》记载的数据换算成赤道日晷的长度（见表一），可绘制出二十四个节气赤道日晷雷达坐标图，如图四所示。
图四 二十四个节气赤道日晷雷达坐标图
当赤道日晷的圭面是一个刻度圆盘时，日晷在白天的指向就是当天时刻（辰）的位置。所以赤道日晷是辨别方位、判断时间的最实用的工具之一。直到西方机械钟表的传入之前，日晷是我国计时的主要器具之一。
六、日晷损益的图形绘制
《周髀算经》有“凡为八节二十四气……冬至夏至为损益之始”这样的记述，中国古代是分别从冬至、夏至两个起始点用“损”、“益”即减少或增加来说明日晷长度的变化的。因此，这种观测分析日晷现象的方法与现代的科学方法还是有区别的。按目前的方法，日晷长度的变化只从一个端点考虑，要么从冬至开始，要么从夏至开始。以下两个日晷雷达坐标图所反映的曲线就是分别以冬至、夏至两个起点分析日晷长度变化的结果（只考虑日晷变化部分的长度即日晷净长）。
图五：以冬至为起点分析的日晷雷达坐标图
图六：以夏至为起点分析的日晷雷达坐标图
“冬至夏至为损益之始”，它没有说明为什么要从两个端点分别开始分析的原因，但它是有科学道理的。因为极坐标上除了极点以外的点都是考虑极角的，而极角是从极点指向观察点，观察日晷长度的时候，看上去好像只有一个方向，实际上当日晷在冬至、夏至长度变化转换的时候，地球相对太阳的位置也已经开始转变，日晷长度从冬至开始损即向减少的方向转变，从夏至开始益即向增加的方向转变。
七、日晷的阴阳概念
日晷即表的日影，日影又可称为阴影，如果日晷用阴表示，那么由圭表形成的日晷并有了阴阳的概念。一年二十四个节气当中，在冬至时，正午日晷长度最长，即达到阴极，此时，阳为零，而后，日晷长度慢慢变短，即阴消阳长，到春分时节，阴与阳达到平衡，阴与阳相等。在夏至时，日晷长度达到最短，即达到阳极，此时，阴为零。过了夏至后，日晷长度又慢慢变长，即阳消阴长，到秋分时节，阴与阳又达到平衡。回到冬至时，日晷长度又恢复到最长的状态即达到阴极。由此可知，日晷的长度具有年周期变化规律，是一个阴极阳生，阴消阳长，阳极阴返，阳消阴长的循环往复的过程。
为了便于分析讨论，我们把二十个节气的日晷长度都去掉一个不变的因子，即减去夏至时的日晷长度，得到一组日晷净长，如表一所示。
假设圭表日晷是一个整体系统为和的状态，即系统处于稳定状态，用H表示。日晷长度为阴，用Y-表示，光照的长度为阳，用Y+表示。那么，和与阴、阳之间的关系为：
H = Y+ + Y-
由此式可得：
Y+ = H - Y- 或 Y- = H - Y+
由于地球与太阳之间始终保持着平衡状态，所以，系统的和为常数。日晷在圭上的移动幅值恒定不变。按照《周髀算经》测量记录数据计算，在该地理位置观察点有以下观察结果：
冬至： Y+= 0米 ， Y- = 2.9750米 ， H = 2.9750米
春分、秋分：Y+= 1.4875米 ， Y- = 1.4875米 ， H = 2.9750米
夏至： Y+= 2.9750米 ， Y- =0米 ， H = 2.9750米
根据阴阳原理，当从相反的方向或角度观察系统时，得到的结果有如下关系：
冬至： Y+= 2.9750米 ， Y- =0米 ， H = 2.9750米
春分、秋分：Y+= 1.4875米 ， Y- = 1.4875米 ， H = 2.9750米
夏至： Y+= 0米 ， Y- = 2.9750米 ， H = 2.9750米
显然，在春分、秋分两个节气，光照的长度与日晷长度相等，处于阴阳平衡状态，即
Y+=- Y- 或 Y-=- Y+
用阴阳关系来表达系统状态时，最关键的一点就是阴阳的转变，阴阳到达极点的时候，各自向相反的方向变化，即阴极阳生，阳极阴返。如果从冬至经春分到夏至的日晷长度用阴表示，那么，从夏至经秋分到冬至的日晷长度则用阳表示。表二是用阴阳表示的日晷长度。
表二 二十四个节气日晷阴阳长度表
与“冬至夏至为损益之始”的方法相同，因为雷达极坐标很难有负数的区分，用雷达极坐标绘制的图形，其极径为负数时，曲线只会向极点扩展，因而采用极点转换的方法，即当阴的因素或阳的的因素达到极值时，图形就选用相反的因素表示。如日晷长度在冬至时开始应用阴影长度，随节气的变化而逐渐减短，当节气到达夏至时阴影长度为最小，阴影长度为极小。从夏至则开始采用日照长度，此时日照长度为最大，日照长度随节气的变化而逐渐减短，当到达冬至时日照长度为最小，图形又开始重复上述过程。图七表示的就是二十四个节气的日晷阴阳平面坐标图。
图七 二十四个节气日晷阴阳平面坐标图
用这一组数据可绘制出日晷阴阳雷达坐标图，如图八所示。
图八 二十四个节气日晷阴阳雷达坐标图
八、日晷的太极两仪图
如果把图八的外圆视为圭表系统的和H，每个刻度为所处的节气，从极点至外圆的一点画直线，那么，这条直线刚好被日晷线分为两段。从冬至到夏至，靠极点端的极径就是日影净长Y-，靠外圆端的极径就是光照净长Y+ 。从夏至到冬至，则相反。将日影部分涂上灰颜色，二十四个节气阴阳日晷雷达坐标图就成了日晷太极两仪图，如图九所示。
图九 二十四个节气日晷太极两仪图
这幅图与中国传统的太极两仪图非常相似。下图就是中国传统的太极两仪图。
图十 太极两仪图
当我们引入和H、阴Y-、阳Y+三个概念之后，二十四个节气的日晷长度就可以用数学形式表达，H = Y+ + Y- 。同样，日晷长度还可以用太极两仪图来表示。由此可以判断，“日中立竿测影”是人类观察自然、认识自然的科学手段，可以毫不夸张地说，“日中立竿测影”是整个中华民族文明史的开端。
九、结束语
两千多年前的《周髀算经》记载了中国古代的天文观察数据，用这组数据，我们可以建立起各式各样的数学模型，从中发现许多现代科学意义上的物理概念。严格地讲，中国古老的哲学思想不是凭空捏造的，是通过大量的生活实践和仔细观察逐渐积累形成的。在当时生产力相当低劣的情况下，能够采用极为简陋的工具和简洁的方法，进行如此有效的观察和系统的分析，并做出完整的数据记录，是难能可贵的。因此，《周髀算经》，以及许许多多中国古代书籍中蕴藏着丰富的智慧和宝藏，有待于我们去开发挖掘、整理归纳、探索研究。从日晷到太两仪极图的演变过程探秘，只是整个庞大系统中的一个节点，沿着这个方向，我们必定会找到通往探索宇宙奥秘的光明大道。