内容提要:本文通过对太极图理论的分析，依据太极阴阳特性呈现的周期性变化规律，合理地选择坐标系和坐标参数，即可用数学形式将太极图描述出来，从而建立太极图的标准数学模型。
关 键 词：太极图 太极阴阳理论 周期变化规律 极坐标系 数学模型
一、 前言
古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯曾经说过：“无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学。”现代科学表明，太极图要想步入科学殿堂，其理论和图形必须能够用数学语言表达，即必须建立太极图的数学模型。根据太极图的具体情况，我们在《月相的太极图演变规律探讨》中已经对太极图的表现形式进行了探讨，试图从传统的坐标系中选择合适的坐标参数把太极图用数学形式描述出来。考虑到太极图的特殊性，我们设置了一个特别的与极坐标相似的坐标系——太极坐标系。在此坐标系中，只要列出相应的数学表达式，一个完美的太极图并可以用阴、阳两种特性的曲线表现出来。因此，下面就有关如何在太极坐标系中建立太极图的数学模型进行探讨。
二、太极图理论
太极图理论是建立在太极阴阳理论基础之上的科学理论，是把太极阴阳的哲学语言转变为数学语言的一套具有逻辑思维的科学理论。太极阴阳理论是从反映事物特性的两个方面对事物发展变化的现象进行研究的系统理论。太极阴阳理论由太极理论和阴阳理论组成。太极阴阳理论起源于孔子对《周易》预测系统的研究，“太极”一词最早出现在《易传·系辞上》“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”“太极”是一个整体系统概念，孔子用“太极”把《周易》概括为一个完整的系统。在《周易》应用过程中，系统必须具有观察研究对象。针对不同的对象，采用不同的信息组合方式，然后由不同的特性给予描述，这些特性都是系统各个层次的组成部分，包括两仪、四象、八卦、六十四卦等等。太极就是指那些观察研究的特定系统。《易传·系辞上》说“一阴一阳之为道”，两仪又可以用阴阳特性表示。《周易》研究的是事物周期性发展变化的趋势，所以，太极系统的阴阳特性呈现周期性变化规律。这种周期性变化规律被后人从文字形式慢慢转化为连续的图形变化规律，这个图形就是古老而神秘的太极图，如图一所示。
图一 太极图
太极图生动形象地揭示了宇宙构成的奥秘，阴阳对立而又统一，相应而又合抱。太极图中心的反Ｓ曲线，判分阴阳两仪，展现彼此依存、制约、消长、转化的动态变化规律。周敦颐的《太极图说》“无极而太极。太极动而生阳，动极而静，静而生阴，静极复动。一动一静，互为其根。分阴分阳，两仪立焉。”是从事物运动变化状态对太极阴阳理论进行的深刻阐述。
从图形上分析，老子《道德经》中“万物负阴抱阳，冲气以为和”是文字表述太极图最早的形式，这是《道德经》被奉为道学之源的原因之一。
为了更好地用数学语言来表示太极图理论，我们先定义太极、阴、阳这几个概念。太极是一个整体系统，是阴阳合和体，太极用字符H表示。太极系统可分为阴和阳两个特性，阴和阳是太极处于两仪层次的表现形式，阴的特性用字符Y-表示，阳的特性用字符Y+表示。
根据以上定义，太极图理论的数学表达式可表示为：
H = Y+ + Y- （1）
式（1）表明，太极系统H是由阴Y-、阳Y+ 两部分组成。如果知道了系统的阴Y-、阳Y+，并可确定系统的和H。如果知道了系统的和H及阴Y- 或阳Y+ ，也可由（1）式求得系统的阳Y+ 或阴Y-
式（1）表明，太极系统H是由阴Y-、阳Y+ 两部分组成。如果知道了系统的阴Y-、阳Y+，并可确定系统的和H。如果知道了系统的和H及阴Y- 或阳Y+ ，也可由（1）式求得系统的阳Y+ 或阴Y-
Y+ = H - Y- （2 ）
Y- = H - Y+ （3）
当系统的状态为原始初态H=0时，则有
当系统的状态为原始初态H=0时，则有
Y+ = - Y- （4）
（4）式也表示阴与阳的转换关系，它是表明两个系统之间的阴与阳的相互作用，相当于牛顿运动定律中的作用力与反作用力之间的关系。
（4）式也表示阴与阳的转换关系，它是表明两个系统之间的阴与阳的相互作用，相当于牛顿运动定律中的作用力与反作用力之间的关系。
一个稳定系统H=常数时的太极阴阳关系可用太极坐标表示，如图二。
图二 太极阴阳两仪图
三、太极图的数学模型
当一个观察系统处于稳定状态时，即研究对象与外界各个系统不发生相互作用时，系统的现象只取决于系统内部的阴、阳特性。不同的系统有不同的阴、阳特性。同一个系统也可以有不同的阴、阳特性。系统的阴、阳特性实际上是研究对象的两个不同方向的观察维度的观察结果。反映事物的阴、阳特性是随时间和空间相互变化着的，而且变化的规律具有周期性。不同的系统变化的周期也是不相同的，有的周期长，有的周期短。如白天与黑夜的交换时间为24小时，朔月与望月的变更时间为29.53天，而酷暑与严寒的转换时间为365.256天。因此，事物阴、阳特性的变化有可能在短暂的瞬间完成，如雷电的闪烁、电子绕原子核的运动，也可能在漫长的时间里都不发生变化，如空中悬挂的太阳已经燃烧了近45亿年之久。综观一个个不同的系统，其内部的阴、阳特性是一个周期函数，变化的快慢都可以用周期表示。
周期函数最简单的形式是三角函数，如正弦、余弦函数等等。为了研究讨论方便，我们取单位圆的三角函数，并且设初相位为0，同时把相角的取值范围限定在0～2Л区间（满足一个周期）。这样，系统的阴、阳特性可表示为：
Y+ = SINθ 或 Y－= COSθ
不过用上式表示时，我们还无法直接得到单位圆的关系式，即
H ＝ Y+ + Y- ＝SINθ + COSθ≠ 1
单位圆的三角函数关系式应该是
H ＝ Y+ + Y- ＝SIN2θ + COS2θ＝ 1 （5）
所以，我们把SIN2θ定义为阴，把COS2θ定义为阳（初步定义，阴与阳可以相互转变）：
Y－＝ SIN2θ （6）
Y+ ＝ COS2θ （7）
依据三角函数变换关系，式（6）、（7）可用以下形式表示：
Y－ ＝（1-COS2θ）/2 （8）
Y+ ＝（1+COS2θ）/2 （9）
设 φ= 2θ，则式（8）、（9）可用相角φ表示为：
Y－ ＝ （1-COSφ）/2 （10）
Y+ ＝（1+COSφ）/2 （11）
我们惊奇发现，用式（10）、（11）表示的阴阳特性函数在太极坐标系上绘制的图形与传统的古太极图其形状几乎一模一样。
太极坐标系除了阴阳特性是相角的三角函数外，最大的特点之一是太极为恒定不变的整体系统，极径等于阴阳之和为常数，阴阳具有对称性，系统可以选择阴极或阳极作为起始位，以阴为主或以阳为主发生变化，然后经过极值后进行阳极阴返或阴极阳返的转换，系统继续完成后半个周期的运动变化。
图三 阴阳太极图
因此，我们可以确定，用（1）、（10）、（11）三式组成的函数组就是我们中国人苦苦寻找的太极图数学表达式。我们把这组函数称之为理想太极图数学模型，把（1-COSφ）/2和（1+COSφ）/2称之为太极因子。
四、 太极图数学模型的物理意义
理想太极图数学模型为：
H = Y+ + Y-
Y－ ＝ （1-COSφ）/2
Y+ ＝（1+COSφ）/2
φ ∈［0±2 KЛ，2Л±2（K+1）Л］（K为自然数 ）
用理想太极图数学模型绘制的图形是一个以φ为相角的周期性曲线。太极图形可以顺时针也可以逆时针方向绘制。图形的顺时针或逆时针取决于系统的初始位置是以阴性主导还是阳性主导。
用理想太极图数学模型绘制的图形是一个以φ为相角的周期性曲线。太极图形可以顺时针也可以逆时针方向绘制。图形的顺时针或逆时针取决于系统的初始位置是以阴性主导还是阳性主导。
阴阳曲线呈旋转对称性，当阳线转过180度（Л弧度）后，其图形与阴线重合。阴线也有同样性质，即 Y－（φ+Л）＝ Y+（φ）或Y+（φ+Л）＝Y－（φ）
阴阳曲线都为偶函数：
Y－（-φ）＝Y－（φ）或 Y+（-φ）= Y+（φ）
我们还可以通过设置不同的初相位φ0，获得任意角度时的太极图形：
Y－ ＝（1-COS（φ+φ0））/2
Y+ ＝（1+COS（φ+φ0））/2
由式（5）可以知道，当一个质点做匀速圆周运动时，其质点的能量在平面直角坐标系中的表达式为：
EX = m R2ω2 COS2θ /2= m R2ω2（1+COS2θ）/4
Ey = m R2ω2 SIN2θ /2= m R2ω2（1-COS2θ）/4
E = EX + Ey= m R2ω2/2
其中：m为质点质量，R为圆周运动半径，ω为圆周运动角频率。EX、 Ey分别为质点在X轴、Y轴方向的能量，E为质点总能量。
当该质点用太极系统来描述时，系统的和H、阴Y－、阳Y+为：
H = Y+ + Y－= E = m R2ω2/2
Y－= m R2ω2 SIN2θ /2= H SIN2θ= H（1-COS2θ）/2= H（1-COSφ）/2
Y+ = m R2ω2 COS2θ /2= H COS2θ= H（1+COS2θ）/2= H（1+COSφ）/2
太极因子（1-COSφ）/2、（1+COSφ）/2是系统的和H为1个单位时阴阳特性的最简形式。
由此可见，太极、阴阳概念在不同的系统中可以有不同的含义，太极图数学模型描述的是事物普遍遵循的周期运动规律。(待续)