假如只记得π
孙家军
走过中年，五六相连，记忆退化，实在明显。
登山爬楼为的活动腿子，数学游戏为的活动脑子。这不，我给自己出了一道数学题，关于圆和球，假如只记得π，能不能由此出发，把圆和球的那些数学公式都给它推导出来。我试着去做，于是有了这套思维的体操。
一、假如只记得π，推导圆的面积公式
这道题不算难，但是基础的一步。我是这么做的。如图1，把圆周n等分，就得到n个相等的扇形，扇形AOB只是其中一个。
设第1个扇形的面积为S1，第二个扇形的面积为S2……第n个为Sn，那么圆的面积：
S=S1+S2+S3+……+Sn ①
且S1=S2=S3=……=Sn ②
而当n无限增大时，每个扇形的面积S1，S2，S3，……Sn都与△AOB的面积无限接近，而△AOB的面积也无限接近弧长AB×圆的半径R×1/2, 对△AOB的面积取极限，得到：
S△AOB=1/n×圆的周长×圆的半径R×1/2=1/n×2πR×R×1/2=1/n×πR2 ③
由①②③式得出圆的面积公式S=1/n×πR2×n=πR2 ④
圆的面积公式被推导出来，任务完成。
二、由π出发，已推导出圆的面积=πR2，现在推导球的面积公式
这道题增加了一点难度。我是这么做的。如图2，用半径分别为r1，r2，r3，……rn的钻头给球钻孔。容易看出rn=√2R ①
第1个孔钻穿后，等于伤去了圆球面积的2×πr12，记作S1，S1=2πr12；
第2个孔钻穿后，等于伤去了圆球面积上的一个环形，记作S2，
S2=2πr22-2πr12=2π（r22- r12）；
第3个孔钻穿后，等于伤去了圆球面积上的又一个环形，记作S3，
S3=2πr32-2πr22=2π（r32- r22）；
……
第n个孔钻穿后，等于伤去了圆球面积上的第个环形，记作Sn，
Sn=2πrn2-2πrn-12=2π（rn2- rn-12）；
球的面积S=S1+S2+S3+……+Sn=2πr12+2π（r22- r12）+2π（r32- r22）+……+2π（rn2- rn-12）
=2π〔r12+（r22- r12）+（r32- r22）+……+（rn2- rn-12）〕
=2πrn2 ②
由①②得出球的面积S=2πrn2=2π（√2R）2=4πR2
球的面积公式被推导出来，任务完成。
三、由π出发，已推导出球的面积=4πR2，现在推导球的体积公式
这道题又增加了一点难度。我是这么做的。如图3，把球看成n个相同的圆锥，这些圆锥的顶点在球心上，而底面在球的表面上。由于n趋近无穷大，圆锥的高趋近球的半径R，底面趋近对应的球面。
第1个圆锥的底面积记作S1，体积记作V1，V1=1/3×S1×R；
第2个圆锥的底面积记作S2，体积记作V2，V2=1/3×S2×R；
第3个圆锥的底面积记作S3，体积记作V3，V3=1/3×S3×R；
……
第n个圆锥的底面积记作Sn，体积记作Vn，Vn=1/3×Sn×R
球的体积V=V1+V2+V3+……Vn=1/3R（S1+S2+S3+……+Sn）；
而（S1+S2+S3+……+Sn）=球的面积=4πR2；
因此，球的体积V=1/3R×4πR2=4/3πR3
球的体积公式被推导出来，任务完成。
四、由π出发，已推导出球的体积=4/3πR3，现在推导球缺的面积公式
这道题更增加了一定的难度。我是这么做的。如图4，图5。在球缺的顶点上分别用半径为r1，r2，r3……rn的钻头钻孔，容易看出rn2=r2+h2 ①
而r2=R2-(R-h)2=2Rh-h2 ②
第1个孔钻穿后，等于伤去了球缺面积的πr12，记作S1，S1=πr12；
第2个孔钻穿后，等于伤去了球缺面积上的一个环形，记作S2，
S2=πr22-πr12=π（r22- r12）；
第3个孔钻穿后，等于伤去了球缺面积上的又一个环形，记作S3，
S3=πr32-πr22=π（r32- r22）；
……
第n个孔钻穿后，等于伤去了球缺面积上的第n个环形，记作Sn，
Sn=πrn2-πrn-12=π（rn2- rn-12）；
球缺的面积S=S1+S2+S3+……+Sn=πr12+π（r22- r12）+π（r32- r22）+……+π（rn2- rn-12）
=π〔r12+（r22- r12）+（r32- r22）+……+（rn2- rn-12）〕
=πrn2 ②
由①②③得出S=π（r2+h2）=π〔(2Rh-h2)+h2〕=2πRh
球缺的面积公式被推导出来，任务完成。
五、由π出发，已推导出球缺的面积=2πRh，现在推导球缺的体积公式
这道题具有本讨论中的最高难度。我是这么做的。如图6，图7。
在球缺的顶点上分别以底面积为πr12，π（r22- r12），π（r32- r22）……
π（rn2- rn-12）的圆，一层一层向球心切球面圆锥，容易看出，只有第一个球面锥是实心的，后面依次切取的每个球面锥是空心的，可以想象成一个薄壁圆锥容器。第i次切取时，所得的球面锥的底面积记作Si，实在的底面积记作si，球面锥的体积记作Vi，实在地体积记作vi
当切第1个球面锥时，容易得出：
s1=S1=πr12，
v1=V1=1/3×S1×R=1/3πr12R；
当切第2个球面锥时，容易得出：
s2=S2- S1，而S2- S1=π（r22- r12），
v2=V2- V1=1/3π（r22- r12）R；
当切第3个球面锥时，容易得出：
s3=S3- S2，而S3- S2=π（r32- r22），
v3=1/3π（r32- r22）R；
……
当切第n个球面锥时，容易得出：
sn=Sn- Sn-1，而Sn- Sn-1=π（rn2- rn-12），
vn=1/3π（rn2- rn-12）R；
球面锥的体积V=v1+v2+v3+……vn=1/3R（s1+s2+s3+……+sn）；
而（s1+s2+s3+……+sn）=球面锥的面积=2πRh；
因此，球面锥的体积V=1/3R×2πRh=2/3πR2h ①
而球缺的体积Vqq=球面锥的体积Vqz-圆锥的体积Vyz ②
现在只需要求出Vyz，
而Vyz=1/3×球缺的底面积×圆锥的高 ③
由图4看出圆锥的高=R-h ④
由图4看出球缺的底面积=πr2，况且r2=2Rh-h2
因此得出球缺的底面积=π（2Rh-h2）⑤
因此得出V圆锥=1/3×π（2Rh-h2）×（R-h）⑥
由①⑥得出球缺的体积V缺=2/3πR2h-1/3π（2Rh-h2）（R-h）
=1/3πh2(3R-h)=πh2（R-1/3h）⑦
球缺的体积V=πh2（R-1/3h）
推导全部完成，本次思维体操作完。