2.4 ∏值的模拟

在第一章第一节我们讲到过蒲丰投针问题，这个问题同样可以在Excel中实现。该问题主要地可分为三步。

第一步，生成两个随机数，一个是针的中心距离最近的横线的距离随机数，另一个是针与平行线夹角的随机数。可分别在B5和C5单元格输入函数“＝RAND( )”和“=180*RAND( )”。

A列留下统计实验次数。

第二步，计算给定角度的针中点距离平行线的距离，可在D5单元格输入函数“=0.5*SIN(Radians（C5）)”，其中函数Radians（）的功能是将给定数值的角度转换为弧度。

第三步，考察是否相交，可在E5单元格输入“=IF(B5<=D5,1,0)”。

最后在确定的统计区假如是D1单元格输入“=COUNTIF(E5:E1004,">0")”统计相交的次数（假如模拟了1000次），在D2单元格输入“=1000/D1”计算∏值，这里假定针长为1，横格的间距为2。

这种π值模拟方法可称作“蒲丰投针方法”。

对于π值的模拟，也有学者设计了这样的模型，即在如图4所示的边长为1的正方形中，有一个半径为1的1/4圆，向该正方形中随机地投掷一些点或豆，落入1/4圆中的点数n与实验的次数N的比值，应该等于1/4圆的面积与正方形的面积比。根据“大数定律”，实验的次数N越大，比值就越精确。使用的关系式是：

因此，。

图4 ∏值模拟图

要求试用Excel进行模拟，看看会出现什么结果？

该问题依然可分为三步完成。

第一步，生成两个随机数，一个是横坐标随机数，另一个是纵坐标随机数。可分别在B5和C5单元格输入函数“RAND( )”即可。

A列留下统计实验次数。

第二步，利用勾股定理计算斜边的距离，可在D5单元格输入函数“=(B5^2+C5^2)^0.5”。只要斜边的长度不超过单位1，就一定会落在1/4的圆内。

第三步，考察豆或随即点是否在圆内，可在E5单元格输入“=IF(B5<=D5,1,0)”。

最后在确定的统计区假如是D1单元格输入“=COUNTIF(E5:E1004,"=1")”统计相交的次数（假如模拟了1000次），在D2单元格输入“=4*D1/1000”计算∏值。

这种π值模拟方法可称作“1/4方圆方法”。

对∏值的Excel模拟表参见光盘数据文件“模拟数据”中的“∏值模拟”和“∏值模拟2”两页。

在这里，通过对π值的模拟给了我们一个重要启示，即运用模拟方法不仅可以模拟具有不确定性事件，也还可以计算一些确定性函数的近似值，比如近似地计算一些积分函数比较复杂的定积分问题。

 

 

图5

解联立方程：

  

 

    利用模拟方法求解A的值，只消生成两个（0，1）区间的随机变量x和y，然后利用函数“＝IF（B11>A11^0.5,C10,IF（B11>=A11^2,C10+1,C10））”判断y的值是否在积分函数范围内（假定x和y的随机数分别在A11和B11，需先在C10输0），在多次试验后即可利用比例关系式计算积分的近似值。