森林中有两条相异的道路，我——我走了那条少有人走的路，一切差异由此而生．——RobertFrost：“未取之道” MichaelF．Barnsley导言BenoitB．Mandelbrot（曼德博）于2010年10月14日星期四卒于麻萨诸塞州的剑桥，享年85岁．他是耶鲁大学数学科学方面的名誉退休教授．他还是IBMT．J．Watson研究中心的IBM(物理方面的)名誉退休研究员．他是位少有的，伟大的数学家和科学家．他从数学和几何方面改变了我们许多人看待，描述和建模周围世界的方式．他在各个学科和大学之间穿梭兴奋地，有时是朦胧地，甚或是令人感到虚无缥缈地谈论着他的推测，他建立理论的方方面面—— 从地质学到物理学，从计算机科学到经济学和工程学；近年来，他经常谈论其他人感到为难的事，指出他在早年做过性质相关的事，以及事情是否如某人解释的那样；他还会不时地停下来解释这个或那个看法．他真是个满怀热情，令人难忘的杰出人物；当然他也是易受责难和处于防守状态的人。
回首往事，Benoit看到的是崎岖不平的人生之路．在[1]中，他详述了他的父亲如何跟一群人为摆脱纳粹一起逃出波兰；因在某处另寻一条穿越森林的路而救了他父亲的命．Benoit知道自己的生活也可以用相似的话来描述：他也走了一条少有人走的路，使他跟大多数数学家十分不同．他的与众不同之处在于：跟随他自己的几何直觉，不顾各种循例的学科限制，工作于许多领域．这条路上屡屡出现能使人失败的危险和令人困窘的事，因为每一门学科都有其传统认定的大人物和专家，他们周围又有着结构完善的防卫们—— 以大量(文献)引证为武装的同僚．在撰写本文和[1]之前，我们发电子邮件给同事们，征集关于Benoit对数学的贡献，他的影响以及个人回忆等方面的回忆录和评论．我们收到了许多回应，它们不仅来自数学家，还来自艺术家，物理学家，生物学家和工程师等等．我们的目标一直是搞成两篇纪念文章：凡涉及专业的内容，使用每位作者的原文；但一般而论，为避免某些话题重复，我们进行了编辑和节略．第2篇文章… 的内容集中于Benoitt对数学的影响和贡献．本文则更多指向他本人的个性，习惯和举止．Michael Frame和我不仅认识并且热爱Benoit：Michael Frame多年担任他在耶鲁大学的助手；我——Michael B．，1981年与他结交，在其后的15年，主要是1980年代早期，多次跟他交往．1988年，他到我在亚特兰大的家用餐，当时正值Siggraph会议 期间，一起进餐的有Richard
Voss，Heinz—Otto Peitgen和其他人．在那个夏日炎炎的傍晚，他令人着魔的个性洋溢在我家餐厅；与此形成对照的是1981年2月我第一次遇到他和Aliette的情景—— 那是在他位于Scarsdale的家，屋外闪亮的雪透过窗户映入他堆满书籍和影印本的工作室．
现在网上有大量写就的资料，人们很容易得到，它们详述了Benot的生平，他所处的时代，他的研究工作，他的引言和各种主张．这里，我们试图重新捕捉如下事实：他是我们中的一员，一名数学家．当读此文时，你能瞥见并感知这位名副其实的迷人的人物．
Ian Stewart
他从洗牌式地码放幻灯片开始他的讲演
我跟Mandelbrot的首次接触是在电话里，他说他应邀写一篇关于分形的通俗文章，但没有时间，因此想知道我是否有兴趣写．我接受了他的邀请．自此，每当分形几何出现不一般的，令人印象深刻的成果，他有时会给我打电话．在 经济学家
(The Economist)杂志邀我写一篇关于分形应用的专栏文章时，Benoit电邮给我大量照片—— 它们摞起来有6英寸厚，节省了我好几个礼拜的工作量．我跟他见过几次面．一次，他访问Warwick大学，为确保跟以前的讲演有所不同，讲演开始时他以洗牌的方式码放他的幻灯片．我夫人和我在Santa Fe举行的一次经济数学的会议上，曾跟他一起用早餐．他当时很高兴，因为他的一个猜想刚刚被证明，但他知道我夫人不是数学家，所以他小心地避免使用专业术语．
David Mumford
他打开了一扇门，让一股强风吹人
我遇到他是在1979年，当时他来哈佛大学任访问教授．那时的哈佛数学系是世外桃源—— 一座纯数学的殿堂．他的出现，打开了一扇门，让一股强风吹入．他是个大块头，出头露面的次数也极大：他在相当多的系里作讲演，每次讲演谈论一种不同的自然现象．他似乎研究过所有的东西；世界上所有角落的一切事物他都要琢磨．
我和Beno~t及其夫人Aliette曾在社交场合度过了一些美好时光．他们是热情，有魅力的主人，几乎认识所有的人．我特别记得谈论Gadjusek时的情形——Gadjusek是他们的好朋友，是发现同类相食和朊病毒疾病间联系的人．我最后一次见到他是在(德国)
BadNeuenahr 举办的庆祝他生日的会议上．主办者们曾对他的理论作出过许多贡献．他们围绕在他周围，Benoit很动情地说这是他自(纳粹对犹太人的)大屠杀后第一次访问德国．BenoR是一位特别不寻常的人和科学家一一你不能把他简单地划定为某方面的专家，他的影响十分广泛．我十分幸运能认识他并跟他一起工作过．
Kenneth Falconer
Benoit告诉我… 所有的人在酒足饭饱之后都是愉快的
1984年，我在Les Houches举行的有关分形的冬季研讨会上第一次遇到BenoR．这也是我首次邂逅“分形共同体”．这次会令我大开眼界，因为我看到了对分形感兴趣的数学家和科学家身上蕴含的思想财富．他在会上对我的热情和鼓励至今仍历历在目．那一周烹饪中的亮点是用溶解的干酪调成的食品，我作报告的时间就紧接在这顿晚餐之后．Benoit把我拉到一边告诉我，无需紧张，所有的人在酒足饭饱之后都是愉快的，所以我的报告应当受到好评!事实上，我觉得这次报告确实进行得很顺利．这是我第一次有机会提出我的“数字日规”定理—— 存在一种分形结构使得其正交投影本质上可以是你所希望的任何式样，例如，那种时间的变密数字(the
thickened digits of the time)．顺着同样的思路，我还提出了一种空间站的结构，它能为西方国家清晰可见，而有效地让东方国家看不到，这使许多与会者觉得有趣．之后BenoR告诉我，他喜欢这些例子，因为它们给一个抽象的数学定理以“直观形象的”解释．
1984年我的 分形集的几何(The geometry of Fractal Set)[4]问世，这是除Benoit本人之外出版的最早的有关分形的著作之一．Beno~t对我的手稿提出了十分有益的意见；但在一篇书评里，他确实提到“… 这是干巴巴的数学”，我当然不认为这是不友善的举动．在其后的年代，BenoR在若干合著的文章里也使用类似的形式数学，所以我想，一旦他的数学思想被数学共同体接受，他对是否“干巴巴”的问题就较少关注了．1999年，我在剑桥牛顿研究所“分形的数学及其应用计划”执行期间，多次见到Benoit；实际上，他和Aliette占用的办公室跟我的相邻．这一延续4个月的计划由RobinBall和我组织执行，我们很高兴Benoit全程都呆在剑桥．许多青年研究人员和做研究的学生参予其中；Benoit经常花时间鼓励他们，跟他们中的所有人谈话，并一个个单独跟他们讨论各种想法．
我很高兴他在1999年接受了St．Andrews大学的名誉学位．在我的家乡接待他和Aliette是件乐事．很清楚，从一所苏格兰大学接受这样的荣誉对于他也意味深长．我记得，当我们从机场回来途经福斯湾时，他谈到建于1890年的福斯铁路大桥的层阶结构展现出漂亮的分形特色!
有许多年，我都定期跟Benoit在会议上见面—— 他很少缺席有关分形的会议．他有一次给了我的报告从未有过的最好的称赞：“
我真的喜欢你的报告，Ken(Kenneth的爱称)；你拥有那种奇妙的戏剧风格!”.
Ron Eglash
“那不是批评；那是对你工作的赞词”
我最为人所知的是我的著作((非洲分形(African Frac—tals)[3]． 毋庸置疑，没有Benoit也不会有这本书!民族数学
(ethnomathematics)方面的大量研究，过去一直围绕着诸如“(尼日利亚)约鲁巴高原地区的人是如何数到10的”或“非洲人住房被造成圆柱形”等问题．但当我第一次看到非洲村庄的航拍照片时，其分形结构直观可见．这是我得到富布赖特奖学金去非洲的基础，而且我一到那儿就发现递归伸缩出现于各类人工制品和知识系统—— 从雕塑和织物到占卜和宇宙论．(美国)国家科学基金会同意我们研制教授数学和利用分形算法做计算的软件[13]．这项工作还引起建筑师的注意；例如，现在有一项计划，使安哥拉一所完整的大学具有分形结构．Benoit在好几个洲的国家留下了遗产．
我第一次跟Benoit谈话是在1980年代后期他访问UCSC的时候，当时我在该校的研究生院．我在他讲演后问他，为什么某些分形呈现欧几里得几何的形状—— 例如Sierpinski衬垫—— 而其它的则只呈现为未被辨识过的糊状或液珠状．对我的惊讶，他说道：“十几年来，我一直在问我自己这个问题，我迟早会找到满意的答案．”第2次是在电话里进行的；他想知道我是否得到了终身职位一～ 他已就我的情况作了推荐．我们又闲谈了 非洲分形》，他问我是否因为此书受到过批评．我描述了我收到的一封表达憎恶的邮件；写信的评论者坚持认为黑人因为基因遗传只有低等的大脑(inferior brain)，因此不可能靠自己创造出分形．他说：“
这不是批评；这是对你工作的赞词!”.
这不是批评；这是对你工作的赞词!”.
Harian Brothers
能够显示音乐分形结构的方式
Benolt对教育最重要的贡献，是他跟Michael Frame及Nial Neger在耶鲁联合指导分形几何研讨会的工作．他们共同研究的成果包括：((分形，图形学和数学教育(Fractals，Graphics，＆Mathematics Education) [5]；DVD：Mandelbrot的分形世界[8]；以及很大的关于分形几何的耶鲁网站[12]，它包含了被称为Kitchen Science Fractals的实验汇集．要感谢Benolt的先见之明，全世界无数的年轻人通过跟分形几何的接触而正确地察知了数学的价值．
正是Benoit唆使我走上为“分形音乐”这一术语建立某种数学严格性的道路．2003年夏天之前，有人给过他和Michael Frame一盘自称是分形音乐的CD．他们把它给了我．当我解释了这位作曲家似乎并未扎实地领悟分形的原理时，Benoit表示同意，并说：“对，
你是正确的．如果你打算研究这个主题，那就太好了．”第2年夏天，我跟Michael Frame合作，作了分形音乐的表演和实验．自此，我不断发表和介绍该主题的文章，去年BBC的纪录片《Bach&Friends》『2]讨论了分形几何及其跟Bach )音乐的联系．我经常收到世界各地的学生—— 从高中到研究生院的都有— — 发来的电子邮件，他们或正在从事这方面的课题，或遇到了有关分形音乐的问题．我是Benoit的学生Miguel Garcia—— 我在盖特韦社区学院学习时的教授—— 推荐给Benoit的．我将永远记着我们在耶鲁的首次见面．Benoit坐着，两手相对放在腿上．他以独特的口音开始了谈话：“Miguel告诉我，你不是平凡，普通的学生… ”我在谈话中跟他分享了我的一些研究工作；到我道别之前，他已跟我分享了所有的事情—— 从较少为人知晓的John Venn的工作，到对16世纪布达佩斯的社会与政治历史的回溯．自此之后的许多年里，通过分形几何研讨会和大量电话交谈，Benoit不断地跟我分享他的巨量的专业知识，他的幽默和他在处理实际工作中的智慧．他慷慨的精神和优秀的基本人格一直在鼓舞着我，帮助我确定我的人生.
Nigel Lesmoir—Gordon
Benoit是一位启发灵感且头脑清晰的伟人
我在1992年拍了电影 无穷的真相(The Colors of Infinity) [6]．电影杀青后，Arthur C．Clarke在斯里兰卡，我则在他的家里采访了Benoit．大体上，他对我计划要提的问题挺高兴．我有点拘谨地说，他穿着西服，打着领带，未免过于正规；我建议他应穿着更随便些．他笑着说，他有件蓝夹克可穿，还可以除去领带．当他换装回屋时，穿的不是我期待的亮丽蓝夹克，而是一件不可名状的灰外套．他在他的座位坐下，我坐在摄像机旁拿着笔记本和提问目录．他看起来很高兴．灯光，摄像机，开机!于是，一切怦然开始．可是，我们烧断了保险丝．我们的电工重新安装灯光线路，采访再次开始．过了10分钟，灯光又灭了．我开始心烦意乱，Benoit却镇定自若．
电工重接线路时，我们又喝咖啡小憩．这时大家都很安静地呆着，当然除我之外：为了我们的投资人，同事，尤其是Benoit，我要搞好这次采访，这很重要．我们设法再次开始，并省去了半小时的午饭时间，一直工作到下午．Benoit是个超人 激励人心又头脑清晰．
这次采访的后期制作延续了好几个月；之后我们把录像带寄给了为采访作出贡献的人．Benoit慷慨地给出了他的赞许和感谢．我们找到一位配销商发行此影片．它被加上了3种外语字幕，卖到了世界上超过40个地区．美国有82家公共广播公司播放过它．他在IBM 回忆他的研究工作时告诉我：
对我而言，处理任何困难的数学问题的第一步是设计一种程序，看看它到．底像什么．我们给所有种类的Julia集编程．这太有趣了!特别在某一节点，我们对最简单可能的变换：z— z^2 +c感兴趣… 过了几周，我们得到非常强烈和压倒性的印象—— 我们邂逅了一类大家伙!这一发现以我的名字命名．它被称为Mandelbrot集．我想，它给出的最重要的暗示是，你能从非常简单的公式得出非常复杂的结果…Benoit，Michael Frame和我继续制作教学DVD产品[8]，这是国家科学基金会通过耶鲁大学委托我们做的工作．该DVD的结尾是Benoit对着摄像机镜头的讲话：我一辈子的大部分时间是在解开最终成为分形几何的各种想法．这在多数时间里是令人兴奋和愉快的．但也一直很孤独．许多年没有人来分享我的想法．可是，分形概念这个魔鬼迷住了我，使我在漫长枯燥的年代里关注着它．就这样去寻找你喜欢的东西．它到底是什么并不太要紧．寻找你喜欢的事物，全身心地投入它．我发现了新的几何；你也会发现某种东西．不管你发现什么，那都是你的．
Javier Barrallo
不仅要制造玩意儿，我们还应该知道如何用它来玩
正如Kapler(开普勒)用他的玩意儿—— 椭圆—— 解释了我们的太阳系，BenoitMandelbrot也用他的玩意儿—— 分形—— 解释了大自然的几何．Benoit有一次跟我解释说：“不仅要制造玩意儿，我们还应该知道如何用它来玩．”我跟他第一次打交道，是我向他发出邀请—— 请他主持以他名字命名的国际分形艺术竞赛．出席在马德里孔代公爵城举办的首届竞赛展示会时，他看到排长队参观的人群颇感惊讶．他在那晚说：“我是个顽固的乐观主义者，但从未期待对任何一种形式的数学，能看到人们排着长长的队伍来欣赏它．”我记得我不得不等了40多分钟，以便让他为粉丝们签名和影．那次，他简直像个摇滚乐歌星或好莱坞演员．我记得跟他在一个美丽的秋晨散步—— 在San Sebastian，Benoit注意到La Concha海湾岩壁上的一处雕塑．那是Eduardo Chillida的作品 风之梳(The Comb of the Wind)．他立刻褒扬起这位艺术家；接着告诉我距此仅几英里外，是天主教耶稣会创始人Ignatius of Loyola的出生地；接着又告知我，附近的Guetaria港是探险家JuanSebastian Elcano的诞生处，他第一个完成了环球航行．Benoit并非本土人，却具有出众的文化知识．他能谈论Hokusai风格，并立刻举例说明日本人的性格一一他说了他跟日本皇后一起进餐时发生一件趣闻．有一次他告诉我，Eugene Delacroix常教诲他学生，画一棵树，有必要在里面四另一棵裹较小的树筹 ，它里面再画另一棵，另一棵.
Benoit主持了3届国际分形艺术竞赛．每一届都选出25幅图展示．第3届竞赛选出的图来自17个不同国籍的艺术家；在西班牙的Bilbao，阿根廷的布宜诺斯艾利斯以及印度的Hyderabad展示．Benoit指导我们发现新的表现分形艺术的方法．于是，典型的细一线和螺旋形被转化为更接近当代艺术而非通常的分形 ．看着最后的竞赛展示作品，他说：许多人会喜欢老的分形图，但跟这些相比，它们看起来像古董．”
Benoit 国际分形艺术竞赛也给了他第一次参加国际数学家大会(ICM)的机会．他是作为分形艺术竞赛的名誉指导通过间接方式与会的．当大家知道他与会时，引起了意想不到的兴奋一～ 其程度比任何其他发言的客人都高．因此，Benoit 应邀在有几千人参加的主会场做2006年ICM 的闭幕报告．在报告中，他祝贺Wendelin Werner获菲尔兹奖章，还说这能证明他的一个猜想．事实上，他说的是：“这已经是第3次了，所授的菲尔兹奖可证明我的猜想之一.
”对某些人而言，这可能刻画了一名乐于沾沾自喜的人；但这不是真的．我记得当晚他推辞了参加有一些世界最优秀数学家到场的，享有声望的晚宴的邀请，而是加入了我的年轻同事的群体—— 我们事先计划在热闹的Santa Ana广场品尝啤酒和Tapa )；他问：“我们能参加你们的活动吗?”那晚，我们饮酒，欢笑，但主要是听Benolt讲有关他的生活，科学和艺术方面美妙的故事和趣闻．．．这是难忘的时刻，足以显示这样的一个人，他比你能想象到的可亲近的人更加可亲可近．
我跟Benoit的最后一次谈话讨论了3D形式的Mandelbrot集，它也称作芒德球茎(Mandelbulb)．他真诚地称赞了芒德球茎华丽的卡通制作和其它绘图实验，但他从未介入关于它们的争论 他的时代正在收场，一个新时代正在开始．
Benoit不是一位传统的数学家，但他肯定是我有缘遇到的最聪颖的人物．
Michael Berry爵士
正值冬天，树已落光了树叶
Benoit访问英国时，他和Aliette有时跟我们住在一起．我永远忘不了他令人称道的掌控厨房的本领：一个接一个的令人目眩的烹饪动作．他不停地供应滋补的橙汁，他款待和令我们陶醉还有他独自的长谈，谈数学，谈他的战时经历，谈他对出版商和同事的看法．．．我动笔写时，正值冬天，树已落光了树叶．枝权上的寒霜戏剧性地提升了它们的分形性；我想起Benoit—— 他教过我们如何去观察它．
Michael Frame
尾声：2010年11月12日
我跟Benolt一起工作了20年．我们写文章，出版了一本关于分形和教育的书，主办为教师举办的夏季研讨会，不计时光地讨论．．．所有的事情．这些交谈令人兴奋，是我生活中最棒的时刻．Benoit和许多科学家合作，他们都比我出色得多，但我们的关系与众不同．内心深处，我仍然是个1l岁的孩子，栖息在一个充满神秘事物的简单世界里—— 在那里，每个孩子的工作就是去探索秘密．Benoit比我复杂些，但在我看来，他也一直追随着他单纯的好奇心来看待广阔的世界．我们第一次随意漫步时的交谈，在我心目中留存了很多年；他的茫然不知所措给了我小小的慰藉．Beno~t和我像两个小孩子在明媚的天空下奔走于一大片土地之上，互相显示着我们的发现——真是一对共享发现中真正乐趣的朋友．
Benoit迷恋于复杂的事物．他一生工作的主题，都是在缘自数学，物理，经济学，艺术和音乐的各种例子里寻找其共同的特征：那些模式当他更接近地观察时，它们会重新浮现．这种现象的某些方面之前也曾为其他人注意过，但Benoit看到的要多得多：那些复杂的形状可理解为动态的过程(process)而非对象(object)．这一观点的力量是惊人的，每一代新的学生都为之震惊．
我再讲两点以结束本文：我们之间最后的一些对话，以及我从Benoit身上真正学到了什么．
当Benolt电话告知我他的病情诊断时，他开始要求我别把消息告诉其他人．他唯一想讨论的是如何结束他尚未完成的工作：他心中挂念着他的回忆录和关于负维数和空隙性的研究计划．Aliette Mandelbrot和Merry Morse依据Benoit的笔记完成了该回忆录[11]．他们的辛勤努力，终使人们能读到Beno]t的故事．
除了未完成的计划，我们继续讨论一些一般的科学问题．他尽管有足够的理由可以只考虑他自己的事，但好奇心—— 我们最好的特性之一，也是唯一能够拯救人类和人类值得拯救的品格—— 在他充满朝气的80多年里一直在Benoit心中燃烧并光艳照人．他的这种感觉一直持续到生命的尽头．
Benoit和Aliette对Jean和我非常友好，但我并不理解他为什么把我领进他的世界．无数次的对话，只有他和我．为什么?真不知其解．肯定，他可以用这些时间做更重要的事情．当然，这些谈话让我更详细地了解了Benoit．
关于Benoit，我确切地知道些什么呢?在他心目中，形状是流体，不难弯曲，缠绕和转动．他什么都读，记着一切；他在被期待的和不大可能的事物间寻找各种动态的联系．由于熟悉如此多的论题，Benoit几乎可以和任何人交谈．他曾和我的父亲—— 一名机工长时间地讨论退火问题．Benoit喜爱音乐，特别是歌剧；在跟Charles Wuorinen会晤讨论音乐中的分形之前很久，Benoit就知道他的作品．在耶鲁大学纪念Beno~t的仪式上，Ralph Gomory描述了Beno]t的特征：多少年来在被人忽视的情况下，在陌生的领地上开路和实践，勇敢无畏地精炼和拓展他的跨接许多学科的无量纲换算．早年，Benoit想要得到他自己的Kapler式的革命．他获得了，但付出巨大．多年后，Benoit对自己没有大批的助手感到遗憾；他若不是孤独地走他的路，那会完成多得多的事情．诚然，那条路把他引向了他的领地，从而把分形带给了我们所有的人．
几年前，当问起他是否是数学家，物理学家或是经济学家时，Benoit回答道：他是讲故事的人．Benok去世后，我看到了对他的回答的另一种解释．当强调一个客观对象是如何成长的时候，该对象的分形描述就是一个故事．云中雪花的迂回曲折之态，狂暴海浪雕琢的锯齿状的海岸线，我出生前生长中的肺，散布于深邃宇宙中的星座．这些事物所共享的是什么?Benoit告诉我们，它们都有着同样的故事．Benoit告诉我们，科学应该告诉我们更多的故事．Benolt的故事真的改变了我们对世界的理解吗?是的，确实如此．
参考文献
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11.B．M andelbrot，The Fractalist：M emoir of aM emoir of a Scientific Maverick，Pantheon，2012
12.http：//classes.yale.edu/fractals/
13. http：//www.csdt.rpi.edu.