近期由于“茅盾文学奖” 和科学院院士增选等事项，公平选举一词在互联网上颇为惹眼。本文从技术层面，应用信息论的熵概念，提出选票统计的信息熵方法，以增加评选过程的科学性和透明度。此方法可以进一步推广到地区、企业和组织机构的业绩评估等方面，用信息分布修正系数，给出总业绩的综合指标。

      1. 问题提出

      假设投票人共20位，分别来自4个部类 （部门、分区或专业）：I, II, III, IV，每个部类有6位投票人，满票为24张。候选人共有5位：A, B, C, D, E，共需选出3人。表一给出投票结果。

表一  6个部类投票人对5位候选人的投票结果。

      由此投票结果看出，候选人A以17票和候选人E以16票当选；候选人C和D同获12张票，一时难于确定他们两位谁应当选。现实生活中，往往因为时间和资源等原因，不可能进行多轮选举。需要用科学方法，在候选人C和D间选取一位。分析表一，可以发现，候选人C的选票都集中在部类I和部类IV，而候选人D的选票来自各部类。这种信息分布不确定现象，可以用信息理论的熵概念给出量度，进而区分两位候选人选票的有效性。

      2.信息熵概念

      信息论的创始人申农（Claude Shannon）1949年引入了一个重要概念：信息传播的不确定性。信息论指出，如果一个事件有n个等可能性的结局，那么结局未出现前的不确定程度h与n的对数成正比。

      有一枚硬币，可把头像的那面称为正面，另一面称为反面。如果投币看其结果是正面还是反面，这是一个不确定问题：正反面朝上的概率各为一半。假设样本空间（Sample space） X 有 n 的基本事件 （events），其基本事件 xi 的概率为 pj, j=1, 2, …， n, ∑ pj = 1。申农的信息理论，给出度量这一不确定性的信息熵函数：

      h （p1, p2, …， pn） = ∑ - pj  Log （pj）， j = 1, …， n,                                 （1）

      式中，Log 为以2为底的对数。

      图一表示投硬币不确定性的信息熵分布曲线。在正反面朝上的概率各为一半时，不确定性最大，信息熵为1。若有人作弊，把正面出现的概率固定为1，反面出现的概率固定为0，此时投硬币不确定性最小，信息熵为0。 同样，正面出现的概率固定为0，反面出现的概率固定为1，此时投硬币不确定性亦为最小，信息熵为0。

图一  投硬币的不确定性：信息熵分布曲线

      在申农的信息理论具体应用方面，笔者1988年使用信息熵来表达复杂系统结构有序度，并提出相应算法；2011使用信息熵定义网熵指数（W-entropy Index）模型和系统来评价社交网络成员影响力。

      3.选票统计信息熵模型

      假设此次选举某候选人用Pi表示，i = 1, …， m，共有m个候选人。某部类共有Tj投票人，j = 1, …， n，共有n个部类；有效票总数为 V = ∑ Tj。某候选人Pi在部类j，获得的选票为Vij，在该部类的获票比为：pij = Vij/ V，i = 1, …， m，j = 1, …， n。表达各部类重要程度的权重集合为：{ a1, a2, …， an }，∑ aj = 1。由此，候选人Pi获票平均统计值为：

      Vm  = ∑ aj Vij，j = 1, …， n,                                                                  （2）

      如果对选票的分布理解为信息传递的分布现象，可以用信息熵来衡量选票的有效性，信息熵定义为评价候选人的信息量在各部类获票数的修正系数，对（2）式进行修正。

     在使用信息熵计算公式（1）之前，应先定义pin+1 = 1- ∑ pij表示候选人在各部类没获票比，则有选票不均匀分布修正系数应为：

      h （pi1, pi 2, …， pin, pin+1） = ∑ - pij Logn+1 （pij）， j = 1, …， n+1,         （3）

      式中，Logn+1 为以n+1为底的对数。h值介于[0,1]之间。

      由（2）和（3）式，对候选人获得的选票为Vij修正，则有效选票为：

      VTij = h *Vij                                                                                           （4）

      由（3）式对表一6个部类投票人对5位候选人的投票结果修正，得表二结果。候选人A获17票，选票分布修正系数为0.9764，有效选票为16.60；候选人E 获16票，选票分布修正系数为0.9632，有效选票为15.41；候选人D 获12票，选票分布修正系数为0.8613，有效选票为10.34；候选人C 获12票，选票分布修正系数为0.6460，有效选票为7.75；所以候选人A 、B和D以有效选票数前三名当选。

      尽管候选人C 和D同获12张票，但由于C的选票分布不均匀，没有代表性，所以落选。此结果应该是与实际情况相符合的。

表二 6个部类投票人对5位候选人的投票结果修正

     4.结语

      以上分析结果表明，信息理论的熵概念可以应用到选票统计过程中，给出在难以确定有效选票情况下的解决方案。此算法可以进一步推广到地区、企业和组织机构的业绩评估等方面，用信息分布修正系数，给出总业绩的综合指标。

      参考资料

      [1] Shannon, C., 1949, Communication Theory of Secrecy Systems. Bell System Technical Journal, 28 （4）：  656-715.

      [2] 李伟钢，复杂系统结构有序度--负熵算法[J]. 系统工程理论与实践，1988, 8（4）： 15-22。

      [3] 李伟钢，社交网络成员影响力分析-W熵，千人计划超搏，2011。

           http://www.1000plan.org/superblog/2597/256

      [4] Li Weigang, Zheng Jianya and Daniel Li, W-entropy Index: the Impact of Members on Social Networks, WISM 2011, Taiyuan, China. Gong et al. （Eds.）： WISM 2011, Part I, LNCS 6987, pp. 226-233, Springer-Verlag Berlin Heidelberg.