阿罗定理所证明的悲观结论，对传统福利经济学造成了巨大的冲击，许多经济学家都试图改变阿罗的结论。但他们发现，只要遵守阿罗关于社会选择过程的严格假设，结论似乎是无法避免的。但另外一些研究也表明，在多数票规则下有三种影响社会选择过程的方法，可以针对性地克服阿罗问题和投票悖论。其中，一种是单峰偏好，第二种是投票程序控制，第三种是多维选择时的选票交易。

一、单峰偏好与中间投票人定理

所谓单峰偏好，是指投票人在一组按照特定标准排列的备选方案中，对某个方案的偏好强度最高，而对其他方案的偏好强度都低于对该方案的偏好强度；换言之，如果偏离该方案，对其他方案的偏好强度必然是递减的。用数学语言可以描述为，选票对一组备选方案的偏好强度次序在一维空间上呈现齐次性。[1]

其实，正是双峰偏好使多数票规则陷入了困境。邓肯·布莱克在《委员会与选举理论》一书中，就曾指出，只要能保证个人偏好在排序上呈现单峰模式，就可能保证产生均衡的投票结果。这种偏好强度的单峰模式如果是自发排序自然更好，但如果不是，那么为了避免投票循环而对个人偏好施加某些影响就可能变得必要。[2]阿马迪亚·森（Sen，1966）证明，如果偏好是单峰的，则阿罗问题并不是一个问题，因为除非在最简单的情形下，否则它不可能发生。[3]丹尼斯·缪勒（Mueller，1989：P392-393）也指出，所有议题都必须是一个维度的变量，选民不可能同时考虑两个以上的维度；并且他们的偏好必须是单峰的，如果选民具有双峰偏好，就可能导致意外的投票结果。[4]

布莱克指出，尽管各个投票人的单峰偏好可能是不同的，但是只要投票人的偏好都是单峰值的，多数票规则就一定可以产生出唯一的均衡解，且该均衡解与中间投票人的第一偏好正好一致，即中间投票人偏好的议案将获通过。该结论也被称为中间投票人定理或单峰偏好理论。我们不妨通过上一节关于盗窃惩罚规则表决的案例来解释这一结论。

仍假定在三种备选方案中：X代表死刑；Y代表斩手；Z代表量罪定刑。仍将该群体内部投票者分为三组V₁、V₂和V₃。三组投票人的偏好排序不变：（1）V₁：X优于Y优于Z；（2）V₂：Y优于Z优于X；（3）V₃：Z优于X优于Y。我们将投票人的偏好排序和效用在图8-9（a）的坐标系中以曲线展示。此时可以明显观察到V₃存在双峰偏好，而正是这一结果导致了循环投票的悖论。因为，无论一次性就三个方案投票或循环对任意两个方案投票，投票结果都会出现无效循环。

图8-9

如果我们将V₃投票组的偏好次序进行调整：即将处于次优的X改变为最低偏好，而将先前的最低偏好方案Z调整为次优偏好，使得V₃的偏好改变为V₃`，则此时三组投票人的偏好排序将如图8-10表格中所列。而这一调整将使得三组投票人的偏好曲线在图8-10（b）中全部变为单峰偏好。在仅有单峰偏好的条件下，比较任意两个方案都会发现不会出现投票循环，而方案Y则会最终胜出。

图8-10

这一分析表明，单峰偏好是多数票规则的稳定力量，但我们仍然可以证明偏好事实上是单峰的。只要所有投票人都存在偏好维度上的统一标准，从而对所有投票人关于X、Y和Z三个方案的偏好就可以排序。如果我们将偏好强度看作效用的函数，那么根据消费者均衡模型中的效用水平就可以导出，在既定收入下对特定商品组合的偏好强度。推导结果表明，在最优方案两侧偏好是递减的，因此投票人的偏好曲线总会呈现为上凸的抛物线。而如果投票人的偏好是单峰的，不仅可以避免投票结果的无效循环，从而可以保证多数票规则的稳定性；而且还会确认一种偏好总是占优势的特定类型的投票者，他们就是中间投票人。

图8-10的投票结果也验证了布莱克的中间投票人定理的结论：即在单峰偏好条件下，多数票规则总能保证中间投票人成为赢家。图8-11显示了三组投票人在单峰偏好条件下，就盗窃行为惩罚规则的偏好分布：V₁偏好最为严酷的惩罚方式（处死）；V₃偏好较为宽松和灵活的惩罚方式；V₂则偏好相对折衷的惩罚方式（斩手）。但由于仅有单峰偏好，主张酷刑的V₁和主张量罪定刑的V₃将会抵消，而位于中间位置的投票人V₂的最优偏好（斩手）将在投票中获得通过。

 

图8-11

但需要说明的是，中间投票人占优的结论并不是绝对的。这里需要加上几点说明：第一，如果实施投票程序控制，中间投票人并非总是赢家；第二，只要存在重复投票，不受程序控制约束的投票过程就会保证中间投票人最大化效用；第三，如果偏好排序存在多维标准，只有该投票者在每个维度上都是中间投票人，其最强偏好方案才会被选中；否则，由于不同投票人在不同维度间变换立场，仍然可能导致多数票规则中出现循环。

二、投票程序控制

克服投票循环的第二种方法，是对投票程序进行控制。在多数票规则下，如果首先确立一个投票或表决的程序，那么公共选择过程将更容易获得确定的结果，投票循环就不会发生。在孔多塞悖论中，如果我们先对任意两个方案投票，然后再对胜出方案与剩余方案投票，则投票结果就不会出现循环。因此，在多数票规则下，投票程序一经某种干预，则投票结果往往取决于程序安排，确定投票程序的力量常常就是决定投票结果的权力。常见的投票程序干预包括以下三种：

（1）孔多塞获胜者。孔多塞在早期的研究中，针对他所发现的投票悖论现象提出了一种解决方案：即按照预先设定好的程序对各种备选方案进行两两比较，在每一对方案比较中选出获胜方案进入下一轮投票，从而保证可以选出一个获胜的方案，该方案被称为“孔多塞获胜者”。

（2）序数程序安排。这种投票程序安排，要求每个投票人首先按照自己的偏好次序来排列各种备选方案，然后根据一定的投票程序将各种备选方案进行计数（即博尔塔计数法），最后根据特定的程序将各个投票人对同一方案的偏好加总进行比较，并选出最终的获胜方案。

（3）淘汰程序。克服循环投票的另外一种方法来自于常见的淘汰法。这种投票程序要求：如果对N种方案进行投票，在每一轮两两比较中都实行末位淘汰，即每一轮淘汰一个得票最低的方案，最后剩下的方案将最终被选中。

尽管对投票程序控制或改变投票人的偏好次序，可以克服投票循环并在单维选择中可以保证获得一个确定的投票结果，但由于控制投票程序和改变个人偏好次序，需要权力介入投票过程，也会使投票偏离预期的结果。这取决于对投票程序和偏好次序的改变是否会损害公共选择试图保障和实现的公共价值，当现实的操作出现两难时，我们必要的选择是在控制带来的收益和由此引发的外部成本之间做出权衡。

三、多维选择下的选票交易及再分配效应

以上讨论的多数票规则的投票情形，是以投票具有单峰偏好次序为条件的；而为了获得单峰偏好，又假定投票人只在单维标准下进行选择。而当投票人面临多维标准的选择问题时（例如对多个公共物品同时进行选择），投票循环似乎仍然难以消除。而在多维选择的情形中，往往会出现选票交易和互投赞成票等问题。我们仅考察两维选择下，多数票规则可能导致的投票结果。

假定有三组投票人甲、乙和丙，分别对治安投入和教育投入两种公共物品的最后社会偏好组合进行投票，并且假定每个投票人的决策是独立做出的。U_A、U_B和U_C分别代表三人的关于治安和教育的无差异曲线，每个人最偏好的位置由A、B和C三个组合点表示。这些最强偏好的数量组合点均有每个投票人的序数效用面的顶点来定义，且个人的偏好是单峰的。假定中间投票人的最优偏好处于支配地位，在图8-12中，丙最偏好的治安支出将被选中，而乙最偏好的教育支出将被选中，整个社会最强偏好的公共品数量组合将由图中的M（F_B，E_C）点给定。

图8-12

但在多维选择的情形中，单峰偏好并不能完全保证投票结果的唯一性和稳定性。在图8-12中，甲和乙可以通过选票交易勾结从而使投票结果移到Q点，但该点只能接近甲和乙的偏好，而导致丙的境况恶化。同样，乙和丙勾结会使投票结果移到P点，进而导致甲的境况恶化；甲和丙勾结又会导致投票结果移到R点，并导致乙的境况恶化。诸如P、Q和R之类的点，都可能由导致第三方恶化的选票交易行为而引发，进而使投票结果趋于不稳定。

另一个需要说明的问题是，在图8-12中，M点的数量组合是帕累托效率的，因为它处于所有的帕累托效率组合点的集合中，这些点的集合有曲面ABC围成。从三角面边界上任何一点向集合内任意点的移动都带有帕累托改进特征，因为任意移动都能保证至少一个投票者的境况得到改善，而不会导致任何一个投票者的境况出现恶化。

由于公共选择过程的非独裁特征和非强制特征，人们对各种备选方案的偏好强度可能是不一致的。尽管全体一致同意的规则能够照顾到任意投票人的个人偏好，并使社会偏好与个人偏好不存在冲突，但由于一致同意规则的巨大成本问题和阿罗定理揭示的不可能性，因此多数票规则是现实的选择。但多数票规则并不能照顾到所有投票人的个人偏好，换言之，多数票规则的投票结果可能忽视少数人的利益。但这种由于多数票规则引发的对少数人的外部成本可能引发少数派投票人采用互投赞成票或进行投票交易的机会主义行为。投票交易和互投赞成票可能导致对多数人有利的方案不获通过，而对投机者有利的方案反而获得通过。根据布坎南等人的研究，即使在有限理性的层面上，处于少数派的投票人实施投票交易或互投赞成票都是符合理性的，这一结论是个人效用最大化模型逻辑扩展的必然结论。布坎南和塔洛克甚至证明，投票交易可能将公共选择的结果推向效用可能性边界，并使得多数票规则下的资源配置和福利分配更有效率。[5]但现实经验似乎并不完全支持这一结论，因为投票交易无法保证一定选出有利的方案，也不必然选出总是无效率的方案；此外，选票交易和互投赞成票可能导致公共选择过程内部力量的分化和重组，这不仅会影响公共选择过程的成本和收益，也会导致投票结果更加不稳定。

多数票规则的另外一个功能在于，它必然会产生再分配效应。这一功能是由多数票规则无法消除的外部成本引起的。由于一项议案只需要获取多数票即可通过，它必然会对少数派的投票人产生负的外部性，从而将多数票规则的外部成本转化为多数派支持者的收益。这部分收益显然是在多数支持者和少数反对者之间的再分配。多数票规则的再分配效应可以在图8-13[6]中得到反映。

图8-13

在图8-13中，横轴和纵轴分别表示穷人和富人对某一议案的的效用值（U_P和U_R），假定所有投票人的效用函数相同，那么，在只有私人物品供给的情况下，穷人和富人的效用分别由T和S表示，而此时的生产可能性边界上的帕累托效率组合点为E。而当存在公共品供给后，两组投票人的效用组合的可能性边界扩张至XYZW。其中可能性边界XW在YEZ区间中的任意线段YZ都是帕累托最优的，也会符合一致同意规则的结果。它对应图8-3中的契约线C₁C₂。因为在该区间中，对备选方案的投赞成票对于穷人和富人都是明显改善的。因此，一致同意规则的投票结果必然落在帕累托可能性边界的线段YZ上。但如果公共选择是有多数票规则决定的，那么投票结果的数量组合将落在XW边界上YZ线段之外的区域，即线段XY和线段ZW上。如果投票中富人占多数，则投票结果将落入线段XY上，并对穷人造成外部成本；如果投票中穷人占多数，则投票结果将落入线段ZW上，并对富人造成外部成本。但不论何种投票结果都将具有再分配效应。