被7除循环节的妙用


一个自然数被7除,若不能整除,写成循环小数的形式,我们能发现这样一个有趣的现象:

  1÷7=0.142857 142857 142857……  2÷7=0.285714 285714 285714……

  3÷7=0.428571 428571 428571……  4÷7=0.571428 571428 571428……

  5÷7=0.714285 714285 714285……  6÷7=0.857142 857142 857142……

  循环节都是由相同的6位数字1、4、2、8、5、7组成,只不过首数字的选取不同,其中循环节的倍数关系和除以7的余数倍数关系相对应,下面我们利用被7除循环节来巧解两道例题。

  【例】老师在黑板上写了7个自然数,让同学们计算它们的平均数,要求保留两位小数,王林算得答案是12.73,老师说最后一个数字错了,那么正确的答案是(    )。

      通常解法,我们估算7个自然数的总和在12.70×7=88.90和12.79×7=89.53之间。由于7个自然数的和也必是自然数,所以其和应为89,经计算可得正确答案为12.71。

      如果我们熟知被7除循环节的规律,保留两位小数后,小数点后只存在14,29,43,57,71,86六种可能,即正确答案必然是12.71,既节省了时间,又能保证运算的准确。

  【例】一个各位数字不同的六位数,把他的首位挪至它的末位,新得到六位数是原数的3倍,则原六位数为_____________。

      这是一道典型的数字谜题,写成竖式以后,通过一步步的排除和推导,我们可以得到最终结果142857(142857×3=428571),285714(285714×3=857142)。

  当我拿到这道题的时候,首先注意到的是,经过变换以后,六个数字的衔接顺序没有被打乱,而且乘数是一个小于7的数,随即联想到了一个数被7除的循环节特性,简单验证,答案可得。对于一道填空题,节省时间,保证准确率。

  被7除循环节的秒用还不仅于此,聪明的同学们还可以借此研究下被14除循环节的特点,试试能不能发现更多的规律!