算数平均数、中位数与众数——统计量背后的故事

现代经济社会的数字化程度越来越高，我们会发现在我们生活的这个世界里充斥着各种各样的数字。人们在描述事物或过程时，人们也已经习惯性的偏好于接受数字信息以及对于各种数字的整理和分析。因此，社会经济统计越发的重要。统计学一定是基于现实经济社会发展的需要牵引而不断发展的。在运用统计方法、观察统计数字时不能仅仅看到数字，更要看到数字背后的故事。其实统计学作为一门工具能够帮助我们更为深刻的理解抽象的社会经济现象。当我们仔细发掘其中涵义就会发现，其实自然科学与社会科学并不是相隔千里，它们有着很多地方可以相互的对应，存在普遍而深刻的联系。

笔者曾在为一些本科学生讲授统计学而准备教案时，产生了一些似乎有些勉强，但的确可以训练思维的想法。下面以对于如何理解“算数平均数、中位数与众数”之间的关系为例说一说统计量背后的故事。这三个统计量都是用来描述样本集中趋势的，但三者描述的机制和所表达出来的内涵有不小的区别。算数平均数这样一个统计量反映了样本内所有个体的信息，尽管反映的程度因个体在整体中所占比重不同而不同。在政治过程中，算数平均数与完全的平均主义、严格的每人一票、“全民公投”等相对应。中位数指的在是从小到大排序之后的样本序列中，位于中间的数值，它并不能反映所有样本个体的信息，仅仅考虑的是在相对位置上中间的样本的信息。在一个社会中，按照财富和社会地位进行排序位于中间位置的是中产阶级。中产阶级的意见受到重视的社会是一个较为稳定的社会，是一个有了较高发展程度的社会。众数指的则是在样本中出现次数做多的个体。很明显，在政治过程中这是与“少数服从多数”相对应的。出现次数最多的个体信息被表达出来，其他个体的所有信息完全被忽视。那个个体票数最多，它的利益得以实现，而少数人的利益则不能够得到保证。这恰恰证明了所谓民主的局限之一，即“多数人对少数人的暴政”。

在一个社会里，完全的平均主义会使人们失去进取的动力，“全民公投”的成本极高并且也不能保证个体表达出其真实意愿，因此这并不是理想的政治过程。在改革开放之前实行的计划经济体制最终走下了历史舞台也正是因为我们清楚地认识到了这样的问题；我们反对台湾当局针对台湾是否独立实行“全民公投”也正是基于这一点。那么美国式的民主，即“少数服从多数”是否理想呢？民主是有局限性的，如此的政治过程不能够保护少数人的利益，正是其重要的缺陷之一。况且如果需要政府来保障那些不能通过政治过程实现自身利益的个体，成本极高。相对而言，使中产阶级的利益得以表达，将会形成一个稳定的社会结构，市较为理想的政治过程。人们会有不断进取的心态使自己成为中产阶级，同时最富裕的阶层也受到了一定限制，从而不会凭借其财富垄断社会的公共资源，为整个社会提供了一套阶层之间相互流动的渠道和机制。当然，如此的政治过程仍然是具有一定局限性的。比如仍然会有部分弱势群体的利益得不到保护。但是，相对于“少数服从多数”的政治过程，政府出面保护弱势群体的成本将低得多了。那么我们能不能为社会提供一个最为理想的政治过程呢，哪怕那仅仅是一种理想呢？或许可以。在统计学中，最理想的情况是反映集中趋势的三个统计量相互重合，即算数平均数、中位数和众数相等。这种情况下的社会结构分布可以被看作为正态分布。中产阶级的在数量上占整体的多数，即为富裕与极贫困者皆为少数；中产阶级通过民主的政治过程表达出自身的利益取向；平均看来整个社会在一个较高的发展水平上运行。

想到这里，笔者似乎找到了一种共鸣，这种共鸣存在于自然科学和社会科学之间，它们相隔并非想象的那么遥远，它们彼此相互对应。冥冥之中，似乎有一支看不见的手在指引着我们用人类的智慧去寻找那些似乎并不相关的事物。这种看不见的手是什么呢，笔者尚不知晓。