博弈分析
1、供应链企业的stackelberg竞争
供应链企业竞争的分析框架可表述为：供应商向制造提供原材料，制造商对原材料进行加工获得产品。产品的市场价格取决于制造商出售产品的数量。为简化起见，假定供应商提供的原材料是制造商生产产品所需的唯一原材料，折旧为零。假定生产一单位的产品需要一单位的原材料，即投入-产出比为1：1。两个企业进行两阶段完全信息动态博弈，其步骤为：
1） 制造商根据市场需求曲线，以及生产这些产品的成本决定自己的最优订货量，并给供应商寄送订单。
2） 供应商再根据制造商在第一阶段给他下的订单，来决定自己的最优报价，并按照交货期按时向制造商提供原材料。博弈结束。
假定制造商面临的市场需求曲线为Pm=1-Q，其中Pm为制造商对外出售数量为Q的产品时的市场价格，产品数量Q也为所需原材料的数量，令Cm为制造商生产产品的单位加工成本，令Ps为供应商对制造商的报价，报价Ps为制造商所需原材料的数量Q的函数，则有原材料需求函数Q=1-Ps。
令∏m为制造商获得利润。制造商的利润不仅是市场价格和自己加工成本的函数，也是供应商对制造商报价的函数。注意到总是制造商先做出决策，因此订货量是一个实际变量，不是一个推测变量。制造商观测到第一阶段制造商的订货量，令Cs为供应商提供原材料的单位成本，令∏s为供应商获得利润。不难看出，∏s不仅取决于自己的报价和生产成本，还取决于制造商的订货量。这样我们就有以下式子成立：
∏m=[（1-Q）-Ps-Cm] Q
∏s=（Ps-Cs）Q
根据逆向归纳法，我们先看最后一阶段供应商的决策，即供应商决定报价Ps水平，由于订货量Q是实际变量，在第二阶段Q为常数。并把原材料需求函数Q=1-Ps代入∏s=（Ps-Cs）Q中，对其利润函数求关于Ps的一阶偏导数并令其为零。则有下式成立：d∏s/dPs=1-2Ps+ Cs=0，进一步有Ps=（1+ Cs）/2成立。最后一阶段博弈结束。
回到第一阶段，轮到制造商做出决策，由于制造商知道供应商会做出以上决策（根据完全信息的假定）。因此，供应商的报价决策成了制造商必须加以考虑的因素，用数学语言表述，就是Ps=（1+ Cs）/2成了制造商的约束条件，将该式代进∏m=[（1-Q）-Ps-Cm] Q式中，则有∏m=[（1-Q）-（1+ Cs）/2-Cm] Q成立。尽管该式中的Q为产品数量，但只要求出最优的产品数量，制造商对原材料的订货量也就确定了。对该式求关于Q的一阶偏导数并令其为零。d∏m/dQ=1- Q-（1+ Cs）/2-Cm-Q=0，进一步有Q=[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2成立。这是制造商的产品数量得以确定。相应地，对原材料的订货量也得以确定。整个博弈结束。制造商与供应商都实现了利润最大。各自的利润为∏m={[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2}2，∏s=[（1-Cs）/2] [1-（1+ Cs）/2-Cm]/2。
2、整个供应链最优决策：合作解
考虑到供应商与制造商的整体利润：
∏t=∏m+∏s=[（1-Q）- Cs -Cm] Q
该式中，供应商按照自己的原材料生产成本定价，即Ps= Cs。当整个供应链取得最大利润后，两企业平分这最大利润。只对上式求关于Q的一阶偏导数并令其等于零。则有d∏t/dQ=1-Q- Cs -Cm- Q=0，进一步有Q=（1-- Cs -Cm）/2成立。整体最大利润为∏t=[（1-- Cs -Cm）/2]2，根据假定，∏m=∏s=[（1-- Cs -Cm）/2]2/2。
3、 比较与合作的不稳定性
以上分别分析了两企业：制造商和供应商在竞争与合作时的最优化问题，将两种结果加以比较是很有意义的。
在stackelberg竞争的情形中，制造商和供应商的均衡利润分别为∏m={[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2}2，∏s=[（1- Cs）/2] [1-（1+ Cs）/2-Cm]/2，总的利润为∏m+∏s=（3/4-3/4 Cs- Cm/2）[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2；在合作的情形中，整体最大利润为∏t=[（1-- Cs -Cm）/2]2，比较两式，必有（3/4-3/4 Cs- Cm/2）[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2<[（1-- Cs -Cm）/2]2（整理此不等式有1/16（1+ Cs）2>0）。
这一结果说明stackelberg竞争均衡解并没有式供应链达到帕雷托最优。下一步证明，合作的不稳定性。
在合作的情形中，均衡产量为Q=（1-- Cs -Cm）/2；而在stackelberg竞争的情形中，均衡产量为Q=[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2，如果供应商把原材料报价定为Ps= Cs，两种情况下的均衡产量相等。可是这时供应商的利润为零，制造商为∏m =[（1-- Cs -Cm）/2]2/2，即制造商拿走了全部整体最大利润。这种分配方案可以实现帕雷托改进。但这是不稳定的，如果制造商把原材料的订货量定为[1- Cs-Cm]/2，供应商就会把报价定为（1+ Cs+Cm）/2，比stackelberg竞争原材料的报价（1+ Cs）/2还高，并且利润一定不为零，也就是说，如果制造商把订货量定为整体最优水平[1- Cs-Cm]/2，供应商并没有激励和制造商合作把报价定为Cs而是把报价定的比原来的还高。因此合作是不稳定的。
1、供应链企业的stackelberg竞争
供应链企业竞争的分析框架可表述为：供应商向制造提供原材料，制造商对原材料进行加工获得产品。产品的市场价格取决于制造商出售产品的数量。为简化起见，假定供应商提供的原材料是制造商生产产品所需的唯一原材料，折旧为零。假定生产一单位的产品需要一单位的原材料，即投入-产出比为1：1。两个企业进行两阶段完全信息动态博弈，其步骤为：
1） 制造商根据市场需求曲线，以及生产这些产品的成本决定自己的最优订货量，并给供应商寄送订单。
2） 供应商再根据制造商在第一阶段给他下的订单，来决定自己的最优报价，并按照交货期按时向制造商提供原材料。博弈结束。
假定制造商面临的市场需求曲线为Pm=1-Q，其中Pm为制造商对外出售数量为Q的产品时的市场价格，产品数量Q也为所需原材料的数量，令Cm为制造商生产产品的单位加工成本，令Ps为供应商对制造商的报价，报价Ps为制造商所需原材料的数量Q的函数，则有原材料需求函数Q=1-Ps。
令∏m为制造商获得利润。制造商的利润不仅是市场价格和自己加工成本的函数，也是供应商对制造商报价的函数。注意到总是制造商先做出决策，因此订货量是一个实际变量，不是一个推测变量。制造商观测到第一阶段制造商的订货量，令Cs为供应商提供原材料的单位成本，令∏s为供应商获得利润。不难看出，∏s不仅取决于自己的报价和生产成本，还取决于制造商的订货量。这样我们就有以下式子成立：
∏m=[（1-Q）-Ps-Cm] Q
∏s=（Ps-Cs）Q
根据逆向归纳法，我们先看最后一阶段供应商的决策，即供应商决定报价Ps水平，由于订货量Q是实际变量，在第二阶段Q为常数。并把原材料需求函数Q=1-Ps代入∏s=（Ps-Cs）Q中，对其利润函数求关于Ps的一阶偏导数并令其为零。则有下式成立：d∏s/dPs=1-2Ps+ Cs=0，进一步有Ps=（1+ Cs）/2成立。最后一阶段博弈结束。
回到第一阶段，轮到制造商做出决策，由于制造商知道供应商会做出以上决策（根据完全信息的假定）。因此，供应商的报价决策成了制造商必须加以考虑的因素，用数学语言表述，就是Ps=（1+ Cs）/2成了制造商的约束条件，将该式代进∏m=[（1-Q）-Ps-Cm] Q式中，则有∏m=[（1-Q）-（1+ Cs）/2-Cm] Q成立。尽管该式中的Q为产品数量，但只要求出最优的产品数量，制造商对原材料的订货量也就确定了。对该式求关于Q的一阶偏导数并令其为零。d∏m/dQ=1- Q-（1+ Cs）/2-Cm-Q=0，进一步有Q=[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2成立。这是制造商的产品数量得以确定。相应地，对原材料的订货量也得以确定。整个博弈结束。制造商与供应商都实现了利润最大。各自的利润为∏m={[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2}2，∏s=[（1-Cs）/2] [1-（1+ Cs）/2-Cm]/2。
2、整个供应链最优决策：合作解
考虑到供应商与制造商的整体利润：
∏t=∏m+∏s=[（1-Q）- Cs -Cm] Q
该式中，供应商按照自己的原材料生产成本定价，即Ps= Cs。当整个供应链取得最大利润后，两企业平分这最大利润。只对上式求关于Q的一阶偏导数并令其等于零。则有d∏t/dQ=1-Q- Cs -Cm- Q=0，进一步有Q=（1-- Cs -Cm）/2成立。整体最大利润为∏t=[（1-- Cs -Cm）/2]2，根据假定，∏m=∏s=[（1-- Cs -Cm）/2]2/2。
3、 比较与合作的不稳定性
以上分别分析了两企业：制造商和供应商在竞争与合作时的最优化问题，将两种结果加以比较是很有意义的。
在stackelberg竞争的情形中，制造商和供应商的均衡利润分别为∏m={[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2}2，∏s=[（1- Cs）/2] [1-（1+ Cs）/2-Cm]/2，总的利润为∏m+∏s=（3/4-3/4 Cs- Cm/2）[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2；在合作的情形中，整体最大利润为∏t=[（1-- Cs -Cm）/2]2，比较两式，必有（3/4-3/4 Cs- Cm/2）[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2<[（1-- Cs -Cm）/2]2（整理此不等式有1/16（1+ Cs）2>0）。
这一结果说明stackelberg竞争均衡解并没有式供应链达到帕雷托最优。下一步证明，合作的不稳定性。
在合作的情形中，均衡产量为Q=（1-- Cs -Cm）/2；而在stackelberg竞争的情形中，均衡产量为Q=[1-（1+ Cs）/2-Cm]/2，如果供应商把原材料报价定为Ps= Cs，两种情况下的均衡产量相等。可是这时供应商的利润为零，制造商为∏m =[（1-- Cs -Cm）/2]2/2，即制造商拿走了全部整体最大利润。这种分配方案可以实现帕雷托改进。但这是不稳定的，如果制造商把原材料的订货量定为[1- Cs-Cm]/2，供应商就会把报价定为（1+ Cs+Cm）/2，比stackelberg竞争原材料的报价（1+ Cs）/2还高，并且利润一定不为零，也就是说，如果制造商把订货量定为整体最优水平[1- Cs-Cm]/2，供应商并没有激励和制造商合作把报价定为Cs而是把报价定的比原来的还高。因此合作是不稳定的。