揭示六十四卦的一种数理关系（增订版）
作者：郭顺红
研解周易，最核心的是六十四卦及其关系。《系辞》曰：“八卦成列，象在其中矣。因而重之，爻在其中矣。刚柔相推，变在其中矣。”又曰：“是故，君子所居而安者，易之序也。所乐而玩者，爻之辞也。”简单的几句话，包含了丰富的信息内涵。
首先，《系辞》揭示了六十四卦是由八卦两两相重组合而来的，万事万物的变化都可以用八卦、六十四卦的变化来概括；再者，《系辞》说易序是周易的重要内容，是君子安身立命的指导原则。
今天我就从八卦重组与周易卦序视角探索六十四卦的一种基于平衡与对称的内在多层次关系。
一、八卦组合六十四卦
八卦为三爻卦，六十四卦为六爻卦，三爻卦重组合成六爻卦的方式有多种，最常见的是先天八卦相重而成“先天六十四卦”次序（参见下图），先天八卦次序是：乾、兑、离、震、巽、坎、艮、坤。
上图即“先天六十四卦方图”，该方图中每一行上八卦均为先天八卦次序，每一列下八卦亦为先天八卦次序。
还有一种比较特殊的八卦重组方式，即先天八卦与先天八卦上下颠倒后（覆卦）组合而成的六十四卦方阵。
先天八卦次序是：乾、兑、离、震、巽、坎、艮、坤。
如果将阳爻视为“1”，阴爻视为“0”，这个次序符合二进制递减次序，故称之为二进制八卦。
二进制八卦的次序是：乾、巽、离、艮、兑、坎、震、坤。
下图是这两个八卦重组为六十四卦的方阵图，图中的数字为自然顺序号。
该方图中每一行的卦其上八卦均为先天八卦次序，每一列的卦其下八卦均为二进制八卦次序。
这个六十四卦方图有个特点，就是所有纯相错卦（阴阳爻相反，比如乾与坤）都分布在左上右下对角线上，而相综卦（阴阳爻不变，上下爻位颠倒，比如鼎与革）都分布在左上右下对角线为轴的对称位置，其中，既相错又相综的卦（如既济、未济）都分布在左下右上对角线上。
上面介绍了六十四卦的生成，下面谈六十四卦之间的数理关系。
二、幻方视角下的六十四卦数理关系
有一种说法认为，八卦源于“河图、洛书”，不论这种说法是否正确，但“河图”、“洛书”演绎易经数理是不容否认的，特别是宋代朱熹将“河图、洛书”刊于其《周易本义》卷首以来，易学中研究“河图”、“洛书”数理者，络绎不绝。特别是“洛书”，它是中国乃至世界最早的纵横图（也称之为幻方，幻方是一种数字方阵，该方阵横向、纵向、斜向数字之和是一个相同的恒定数）。
纵横图（幻方）实际上是一种多重平衡关系的数字方阵，易经中的六十四卦有“错综复杂”的关系，实际上是卦爻的多重平衡关系。如果将六十四卦与八阶数字幻方结合，就可以通过这种数字平衡关系揭示六十四卦的内在关系。
（一）、八阶六十四卦幻方
1、八阶幻方图
八阶数字幻方多种多样，然而与周易卦序有一定关系的是具有错综相邻与对称关系的八阶幻方，经笔者多年探索研究，得到数款非常特殊的八阶六十四卦幻方。下面介绍其中的一款特殊幻方，来说明六十四卦之间的多层次数理关系（见下图所示）。
这个幻方是以前面“先天八卦、二进制八卦重组六十四卦方图”的卦与自然次序数对应关系而构建的八阶幻方，该幻方具有如下特点：
①、所有横向、纵向的8个数字之和均为260（幻和）；
②、所有中心竖轴对称的两个数字之和均为65（幻和的1/4），这表示是对称幻方；
③、所有纯相错的卦（如乾、坤）、既相错又错综的卦（如既济、未济）均位于中央相邻两列；
④、所有相综卦均纵向或竖向相邻；
⑤、每列的中央4个数字之和均为130（幻和的1/2），这意味着中央4X4方阵也是幻方；
⑥、两条对角线上的8个数字之和均为260；
⑦、四条半对角上的4个数字之和均为130；
⑧、半对角线与对角线围成的方块内的4个数字之和均为130；
⑨、第一列与第八列的第2、第3、第6、第7个数字之和均为130；
⑩、对角线、半对角线上中心对称位置的两个数字之和均为5的倍数。
这款幻方应该是唯一符合以上所有特征的，参见上图中的彩色划线图示。
2、幻方中的六十四卦关系
在上图所示的幻方中，
①、中心竖轴对称位置的两卦都是相错（卦爻相反）关系；
②、中央两列横向相邻两卦均为纯相错或相错综的卦，其中中央四行中的4对卦均为纯相错关系；
④、中央两列之外的同色相邻方块内的两个卦均是相综关系。
幻方也揭示出周易通行本卦序中的一些规律性。
除以上之关系之外，我还发现一种特殊的组合关系，即在幻方中，屯、蒙与遯、大壮构成一组；鼎、革与临、观构成一组；谦、豫与咸、恒构成一组；履、小畜与损、益构成一组。以上这些卦可以组合成纵向4个数之和为130，且都是唯一的组合。
还有一些组合，如需、讼与艮、震构成一组；晋、明夷与兑、巽构成一组；蹇、解与无妄、大畜构成一组；睽、家人与升、萃构成一组；这些组合不是唯一的，还可以有其它组合。比如需、讼还可以和涣、节构成和数为130的一组；晋、明夷还可以和丰、旅组成和数为130的一组；蹇、解与困、井还可以组成和数为130的一组。
还有一些卦无法实现纵向的4个卦和数为130的一组，这些卦是夬、姤、剥、复、师、比、大有、同人，这些卦都位于先天八卦、二进制八卦重组六十四卦方图的四个角方位。
中央两列纯相错卦、相错综卦不构成以上关系。
以上这这些关系与先天八卦、二进制八卦重组六十四卦方式有关，这种六十四卦组合关系也是特定的。
3、幻方中的数字关系
在上面的八阶幻方中相邻错综关系的两卦存在一定的数字关系。
给定一个卦数，那么其对应的相邻相错（卦爻相反）或相综（上下爻位互换）卦数字是多少呢？可以如下方法计算：
假设一个卦的数字为X， 那么相错、相综卦对应的数字为Y：
Y:=【(X/8）的余数-1】*8+【(X/8）的商数+1】
（其中，能够被8整除的数字，余数仍为8，其商数为整除数的商数减1；如果Y=X，那么该卦一定是纯相错卦，其对应的相邻错卦数为65-X。）
例如，给定贲卦的数字23，其对应的相错综数字是多少？
23/8的余数=7；23/8的商数=2；
那么，23对应的错综数字是：（7-1）*8+2+1=51。
以上说明了错综相邻卦之间的数字关联，下面揭示幻方中的一些特殊数字关系。
⑴、以中心竖轴为对称轴，左右两侧对称位置和数为130的4个数（或和数为260的8个数）的平方和是相等的（不论这些数字是否相邻），因此两条对角线上8个数的平方和也是相等的。例如：
382+422+22+482=272+232+632+172=5516；
262+122+322+602=392+532+332+52=5444；
322+412+492+82=572+162+242+332=5170；
522+472+62+252=132+182+592+402=5574；
382+422+412+92=272+232+242+562=4970；
......等等。
⑵、以中心竖轴为对称轴，左右两侧对称位置和数为130的4个数（或和数为260的8个数）两两乘积之和是相等的，而且只要是对应位置的乘积和都是相等的，无论是否相邻。例如：
38*42+48*2=27*23+63*17=1692；
38*48+42*2=27*17+23*63=1908；
26*12+60*32=39*53+33*5=2232；
30*44+7*49=35*21+58*16=1663；
......等等。
⑶、以中心竖轴为对称轴的2个数其差值相等，符号相反。例如：
38-45=-7，27-20=7；
......等等。
⑷ 、以中心竖轴为角对称轴上下4个数字的和是相等的。例如：
38+42+26+12=33+5+63+17=118；
......等等。
⑸、纯相错卦两数差值均为9的倍数，其它卦两数的差值均为7的倍数，这是先天八卦、二进制八卦相重六十四卦配数幻方的特点。例如：
46-19=3*9=27；
43-22=3*7=21；
60-32=4*7=28；
......等等。
二、六阶三十六宫幻方
1、六阶幻方图
前面介绍了以“先天八卦、二进制八卦相重的六十四卦方图”构建的八阶对称幻方的一些特点，利用“先天八卦、二进制八卦重组的六十四卦方图”也可以构建易经三十六宫的六阶对称幻方，下面开始介绍。
首先对“先天八卦、二进制八卦重组的六十四卦方图”进行配数，也就是六十四卦要变成三十六宫，才能构建六阶幻方。配数的方法是以左上右下对角线为分界将方图划分成上下两部分，上下完全对称且配数一致，见下图所示。
由于六阶幻方的数字是从1到36，因此配数的要点是相综的两个卦数字一样，如咸与恒均为8，相错或相错综的两个卦数字之和为37，如大过卦为3，颐卦为34，兑卦为12，震卦为25，等等。左下右上对角线上的卦取数呈等差关系，且两两相和亦为37。
该幻方具有如下特点：
①、所有横向、纵向的6个数字之和均为111（幻和）；
②、所有中心竖轴对称的两个数字之和均为34（幻和的1/3），这表示是对称幻方；
③、所有纯相错的卦（如乾、坤）、既相错又错综的卦组（如既济、未济）均位于中央相邻两列；
④、两条对角线上的6个数字之和均为111；
⑤、两条相对的半对角上的6个数字之和均为111；
2、幻方中的数字关系
六阶幻方也有类似八阶幻方的数字特征。
⑴、以中心竖轴为对称轴，左右两侧对称位置和数为37的2个数（或和数为111的6个数）的平方和是相等的（不论这些数字是否相邻），因此两条对角线上6个数的平方和也是相等的。例如：
252+352+112+92+162+152=122+22+262+282+212+222=2533；232+272+12+62+342+202=142+102+362+312+32+172=2851；
......等等。
⑵、以中心竖轴为对称轴，左右两侧对称位置和数为111的6个数两两乘积之和是相等的，而且只要是对应位置的乘积和都是相等的，无论是否相邻。例如：
8*32+13*18+33*7=29*5+24*19+4*30=721；
23*27+34*20+1*6=14*10+3*17+36*31=1307；
......等等。
⑶、以中心竖轴为对称轴的2个数其差值相等，符号相反。例如：
25-13=12，12-24=-12；
......等等。
⑷ 、以中心竖轴为角对称轴上下3个数字的和是相等的。例如：
25+35+11=22+21+28=71；
......等等。
三、四阶十六宫幻方
1、四阶幻方图
利用“先天八卦、二进制八卦重组的六十四卦方图”还可以构建易经十六宫的四阶对称幻方，下面开始介绍。
首先对“先天八卦、二进制八卦重组的六十四卦方图”进行配数，也就是六十四卦要变成十六宫，才能构建四阶幻方。配数的方法是以左上右下、右上左下对角线为分界将方图划分为上下左右四部分，上下左右完全对称配数一致，见下图所示。
下面是四阶对称十六宫幻方。
该幻方具有如下特点：
①、所有横向、纵向的4个数字之和均为34（幻和）；
②、所有中心竖轴对称的两个数字之和均为17（幻和的1/2），这表示是对称幻方；
③、两条对角线上的4个数字之和均为34；
④、两条相对的半对角上的4个数字之和均为34；
⑤、一条对角上的中心2个数之和与另一条对角线上的两边的2个数字之和相等；
四阶对称完美幻方可以有几个变幻形式。
如下一款：
12 8 9 5
13 1 16 4
6 10 7 11
3 15 2 14
还有：
1 13 4 16
8 12 5 9
15 3 14 2
10 6 11 7
也是。
其它几款就不全部列出来了。
该幻方也有八阶、六阶对称完美幻方的一些特征。比如，中心竖轴对称的两列4个数字平方和相等，对应位置的两两数乘积之和也相等。
92+42+72+142=82+132+102+32=342；
......等等。
中心竖轴对称的两列4个数字两两乘积之和也相等。
9*14+4*7=8*3+13*10=154；
......等等。
结语
“先天八卦、二进制八卦重组的六十四卦方图”给出的六十四卦次序比较特殊，其中的六十四卦之间的错综关系非常有特点，由此可以构建八阶、六阶、四阶六十四卦对称幻方。笔者文中给出的八阶、六阶、四阶对称幻方均为该类幻方最极致、最完美结构，不仅能欣赏该幻方的结构之美，也能够清晰展示六十四卦之间的多层次数理关系。笔者构建的这种八阶、六阶、四阶易卦幻方独具特色，将具有平衡对称特点的幻方与六十四卦、三十六宫、十六宫有机联系了起来，对于整体研究六十四卦平衡关系、揭示周易通行本卦序规律性也有积极意义。