求一类数列通项公式的五种方法

　　□ 韩天禧

　　 题目 （2010年全国理科卷第22题）已知数列{an}中，a1=1，an+1=c-.设c=，记bn=，求数列{bn}的通项公式.

　　 解法1（待定系数法）由an+1=-，即an+1=，可令an+1+μ=，则an+1=，与已知条件比较得λ-2μ=5，λμ=-2，解得λ=1，μ=-2或λ=4，μ=-.选第一组解代入得an+1-2=，两边取倒数化为==2+.由bn=，得bn+1=4bn+2，再令bn+1+x=4（bn+x），解得x=，从而有bn+1+=

　　4bn+，所以数列bn+是以b1+=+=

　　-为首项，4为公比的等比数列，由此求得bn+=-•4n-1，即bn=-（4n-1+2）.

　　评注数列的通项公式是数列第n项an与序号n的直接关系，无论是公式的结构形式，还是序号n与常数结合方式，都不因n的改变而改变.因此，利用待定系数法将递推关系构建成为一个相邻两项系数相同、常数均分、项与序号匹配的和谐形式，使得数列的递推关系呈现出规律性很强的新的组合形式，从而实现求通项公式的目的.

　　 解法2（构造配凑法）由an+1=-，即an+1=，得an+1-2=，两边取倒数有==2+.由bn=,得bn+1=4bn+2.以下同解法1.

　　评注从条件入手，瞄准目标，采用合理有效的配凑方式，逐步由条件向结论逼近，这种方法其实就是综合法，是解决这类问题的一个重要手段.

　　 解法3 （逆向代入法）由bn=，解出an=+2，同时有an+1=+2，代入an+1=-，整理化简得bn+1=4bn+2，以下同解法1.

　　评注根据两数列通项an与bn的关系，逆向代入数列{an}的递推关系，兑换为目标数列{bn}的递推关系，出现了预想不到的规律性很强的关系式，真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”.

　　 解法4 （不动点法）与递推关系an+1=-相对应的函数是f（x）=-，该函数的不动点就是方程x=-的两根x1=2，x2=.为此考查数列.由于==4•，令cn=，就有cn+1=4cn，得数列{cn}是以c1==-为首项，4为公比的等比数列，求得cn=-.又由于cn==1+•=1+bn，由此求出bn= -（4n-1+2）.

　　评注函数y=f（x）的不动点是指满足方程f（x）=x的根.利用与递推关系相对应的不动点，可将相关数列问题转化为特殊数列处理.尤其是在求分式型递推数列的通项公式，不动点法更具有独特、巧妙的用处.

　　 解法5（归纳猜想证明法）由a1=1，an+1=-，求得a2=，a3=，a4=.再由bn=，得b1=-1，b2=-2，b3=-6，b4=-22.由此猜想bn=-（4n-1+2），代入bn=，解得an=2-.因此要证明bn=-（4n-1+2），只要证an=2-=.下面用数学归纳法证明之.

　　（1） 当n=1时，an=2-=1，结论成立；

　　（2） 假设当n=k时，结论成立,即ak=，

　　那么当n=k+1时，ak+1=-=-=，说明当n=k+1时结论也成立.

　　综合（1）（2），可知结论对任意n∈N+都成立.故an=，从而证得bn=-（4n-1+2）.

　　评注由数列的递推公式求通项公式，归纳猜想证明的方法是万能的通性通法，但由于归纳过程运算量大、猜想有难度、数学归纳法证明过程又复杂，因此这种方法往往不是解决这类问题的首选方法.

　　欣赏一道高考题的四个角度

　　□ 蔡广军

　　 题目 （2010年江苏卷第19题）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列是公差为d的等差数列.

　　（1） 求数列{a}的通项公式（用n，d表示）；

　　（2） 设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立.求证：c的最大值为.

　　欣赏理由一：知识考查丰富.

　　本题覆盖了数列与不等式这两个重要知识模块中的很多知识点，如：基本量法求通项，Sn与an的关系，等差数列的通项与前n项和，均值不等式等.而这些知识并不是简单的堆砌，相反，问题的情境设计体现了知识的发生、发展过程，数列与不等式衔接自然，环环相扣.同时贯彻了“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则.

　　欣赏理由二：能力考查分层.

　　本题知识覆盖广但不累赘，每个知识的出现都是为了考查某个能力而准备，充分体现了高考以能力考查为主的宗旨.本题共分三个能级设计，达到了很好的区分度.首先第一问考查通性通法，有一定基本功的同学就可以完成这一问.其次第二问分两个层次设计考查同学们的能力，能熟练运用均值不等式才能完成前半部分，并且如果思维不严密，则根本想不到还会有后半部分.

　　欣赏理由三：解法入口多样.

　　第（2）问前半部分解法多样.

　　 解法一由=d及=+（n-1）d,得d

　　>0，Sn=d2n2.-m≠n,于是Sm+Sn=（m2+n2）d2>d2

　　=d2k2=Sk，所以c≥.

　　 解法二由Sm+Sn>cSk恒成立，得c<=，设t=≠1，f（t）==9->9-=，所以cmax≥.

　　本小问解法多样，使考查避免了片面性，充分考查同学们的能力，同时注重压轴题的“宽进严出”，使同学们感到拿分容易拿全分难.

　　欣赏的理由四：平凡中见真谛，蕴意深远.

　　这道题题境朴实，没有华丽的包装，这样正好体现了“最好的往往是最简洁的”.第（2）问考查同学们思维的严密性.上述解法不能说明cmax=，因为等号不一定成立，从而必须用举反例的方法说明.

　　任取实数a>，设k为偶数，m=k+1，n=k-1，则Sm+Sn=（m2+n2）d2=d2（9k2+4），于是当k>时，有9k2+4<2ak2，从而Sm+Sn

　　本题虽然朴实，但因体现了“着眼于能力考查”的大方向，从而蕴意深远.让我们认识到一道好题，不一定有花哨的包装，不一定是完全新颖的，容量也不一定非常大，只要能符合同学们的认知情况，能引导同学们积极思考，能体现数学本质思想就足够了.