在实际公共选择过程的决策规则中，多数票规则似乎已经被提升到了应当由全体一致规则占有的地位。但我们必须指出，多数票规则只应被视为许多适用规则中的一个权宜之计。尤其是当个人利益与群体利益发生冲突的时候，多数票规则往往更为必要。但孔多塞在18世纪80年代发现的投票（循环）悖论，以及阿罗1951年证明的不可能定理，都显示了在现实环境中加总选票方法所具有的缺陷。

（一）投票悖论

法国社会学家孔多塞和博尔塔在1785年率先发现了多数票规则可能导致的无效的循环投票结果。他们发现了多数票规则的一个无效情形：即投票结果不能在多个备选方案中达成均衡，而只会在各个方案之间循环。这种现象被称作循环投票、投票悖论或孔多塞悖论[1]。作为无效投票的一个例子，我们假定某一群体内部就偷盗行为的惩罚规则进行投票。备选制度有三种：X代表死刑；Y代表斩手；Z代表量罪定刑。现在将该群体内部投票者分为三组V₁、V₂和V₃，以下是按照递减顺序排列的三组投票偏好：（1）V₁：X优于Y优于Z；（2）V₂：Y优于Z优于X；（3）V₃：Z优于X优于Y。如果不作投票程序控制，并在一次性投票中产生投票结果，图8-8中显示了该公共选择过程中出现无效的循环投票。

根据投票偏好的分布来看，投票结果在每个备选方案上是势均力敌的，即每种规则都可获得三分之一选民的支持。比较任意两个方案都无法改变这一结果。因为根据多数票规则，对X和Y投票，则Y将胜出；对Y和Z投票，则Y将胜出；而当对X和Z投票时，只要传递性必须遵循，则又会导致Z胜出，从而使整个投票出现无效循环。

图8-8 循环投票

投票悖论说明，当个人的偏好不同时，任意加总公共选择中的个人偏好，其结果可能是不相容的。需要指出的是，投票悖论只有在备选方案超过两个时才会发生，即在只有一个或两个备选方案时，多数票规则就可以获得一个均衡的结果。

既然多数票规则下可能产生无效的循环投票，那么在实际的公共选择过程中，产生投票悖论的概率有多大呢？坎贝尔（Colin D. Campbell）和塔洛克在《多数票循环的重要性的测算》[2]一文中对此进行了测算。他们发现投票悖论出现的概率与投票者人数和备选方案的数量有关，投票人数和备选方案越多，出现投票悖论的概率就越大。此外，尼米（Richard G. Niemi）和维斯博格（Herbert F. Weisberg）在《投票悖论的概率数学解》[3]一文中对坎贝尔和塔洛克的计算做了进一步的测算。尼米和维斯博格指出，在投票者超过10人，而备选方案数量不变时，出现投票悖论的概率很小。他们认为，出现投票悖论的概率大小主要取决于备选方案的数量，备选方案越多，出现投票悖论的概率就越高。

（二）阿罗不可能定理

既然多数票规则可能存在投票悖论，那么是否能够找到一种社会决策规则，从而消除无效投票现象呢？阿罗于1963年在《社会选择与个人价值》一书中，论证了民主主义条件下加总个人偏好的不可能性。他在结论中指出：“如果我们排除人际效用比较的可能性，而各种各样的个人偏好次序都有明确定义，那么把个人偏好总和成为表达社会偏好的最理想的方法，要么是强加的，要么是独裁性的。”[4]换言之，阿罗不可能定理揭示了以下事实：即不可能存在一种能够把个人对N种备选方案的偏好次序转换成毫无冲突的社会偏好次序，并能准确的表达社会全体成员的各种各样的个人偏好的社会选择机制。

阿罗不可能定理是基于社会选择和偏好的两个公理和五个条件导出的。阿罗认为，个人偏好加总为社会偏好必须满足的两个公理是[5]：

公理1：连贯性。对于任意两个公共选择的投票对象X和Y，必须满足X≥Y或Y≥X。

公理2：传递性。对于所有公共选择的投票对象X、Y、Z，如果有X≤Y,Y≤Z，则必有X≤Z。

根据以上两个公理，对于任何既定的各种个人偏好或社会偏好而言，社会选择过程的规则必须能产生出一种连贯的，且可传递的社会偏好次序。基于这两个偏好加总的基本公理，阿罗将民主主义的内涵概括为以下五个条件[6]：

条件1：偏好排序的相容性。该条件说明，在个人偏好层面上个人偏好排序可以不同，但在排序标准上应当是相容的，这保证人际效用可以比较；其次任何加总而成的社会偏好排序，都必须包容各种不同次序的个人偏好排序。

条件2：社会评价与个人评价正相关。该条件说明，在多数票规则下的公共选择过程中，少数派中任意个人改变自己的偏好排序对于社会偏好的结果是不影响的，只有当超过多数比例的个人都改变了个人偏好的排序，且该多数个人偏好排序加总的社会偏好与原有社会偏好冲突时，才会改变社会偏好的选择结果。

条件3：不相干选择对象的独立性。该条件要求在一组可选择的对象中，社会选择仅仅依赖选择对象之间的个人偏好排序，而不受非选择对象排序变化的影响。例如，如果对X和Y进行选择，那么即使X或Y与W的排序发生变化，也与关于X和Y的社会选择排序无关。

条件4：不受限制的范围。该条件是对“自由选择”的保证，即任何社会选择的结果都应当来自社会成员的自主选择，而不应当是强加的。换言之，任何社会偏好的次序都是从包括所有逻辑上可能的个人偏好次序中推演出来的，而不应当通过限制个人偏好的次序或范围来获取社会偏好的次序。

条件5：非独裁性。该条件说明，在公共选择过程中不存在任意个人可以将自己的个人偏好次序强加给其他人，并使其个人偏好通过独裁和强制而成为社会偏好。

阿罗证明，任何投票规则和社会选择过程，只有同时满足上述两个公理和五个条件，才可能将个人偏好进行加总或转换为社会偏好；但事实上，这五个条件不可能同时得到满足。因此，不存在任何一种可能把个人偏好加总为理想的社会偏好的政治机制或公共选择过程。其实，阿罗定理着重要说明的问题是，“甚至市场都不能有效配置社会资源时，存在有能力完成此事的民主的集体选择过程吗？（Alastair J. Inman，1987：P681）”[7] 阿罗定理及后人的研究提供了否定的答案。他们指出，“我们面临着两难困境，我们可能设计出来的任何集体选择机制必然是不完善的：要么有效率，但有独裁；要么有民主，但无效率，我们必须选择。”[8]